ex3 olympiade marocaine7 Dec 2007 (devoir N° 2)

adam a écrit:

f application de IN* vers IN* :

qui t as dit ça?

o0aminbe0o a écrit:

adam a écrit:

f application de IN* vers IN* :

qui t as dit ça?

lénoncé

adam a écrit:

yassine-mansouri a écrit:

tu peux trouver dautre Fonctions sauf x-->x^c et x--->0 verifiant les donnés?

les fonctions constantes ne vérifient pas les 2 premières conditions de l'énnoncé ( nn plus 0 ou 1 qui ne vérifient po le fait que a<b ==> f(a)<f(b)) seuls les fonctions f(n) = n^k avec k € IN* qui vérifient les 2 1ères conditions, à vous de chercher !!
sinon, un contre exemple !!

je sai que seul f(n) = n^k avec k € IN* qui vérifient les 2 1ères conditions
mais fau demontrer comeme

Fourrier-D.Blaine a écrit:

o0aminbe0o a écrit:

adam a écrit:

f application de IN* vers IN* :

qui t as dit ça?

lénoncé

l enoncé dit "f definie de IN* vers verifiant" , je me trompe?

en fait , dans la feuille d'ennoncé, ds la partie en arabe, ya de IN* vers IN* mais en français ils lont oublié, et on ns la confirmé avant de commencer le test !!

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Comme mohamed l'a dit on ne peut pas dériver les suites car elles ne sont pas continues et on a non continue => non derivable

Malgré ca, je voudrais que tu réponde a ma question et merci

rockabdel a écrit:

bf'(b)=f'(1)f(b)

pr l'equation differentielle on applique juste la primitive.

rockabdel, si on fait la primitive on va obtenir comment peut t on deduire que ?

est ce qu'on peut parler de dérivabilité dans N*

Conan a écrit:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Comme mohamed l'a dit on ne peut pas dériver les suites car elles ne sont pas continues et on a non continue => non derivable

Malgré ca, je voudrais que tu réponde a ma question et merci

rockabdel a écrit:

bf'(b)=f'(1)f(b)

pr l'equation differentielle on applique juste la primitive.

rockabdel, si on fait la primitive on va obtenir comment peut t on deduire que ?

est ce qu'on peut parler de dérivabilité dans N*

qlq membres en ont deja parlé
https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/bizard-t6318.htm

adam a écrit:

en fait , dans la feuille d'ennoncé, ds la partie en arabe, ya de IN* vers IN* mais en français ils lont oublié, et on ns la confirmé avant de commencer le test !!

mais f est une application de N* veut dire que f(x) £ N Ax

Fourrier-D.Blaine a écrit:

Comme mohamed l'a dit on ne peut pas dériver les suites car elles ne sont pas continues et on a non continue => non derivable

Malgré ca, je voudrais que tu réponde a ma question et merci

rockabdel a écrit:

bf'(b)=f'(1)f(b)

pr l'equation differentielle on applique juste la primitive.

rockabdel, si on fait la primitive on va obtenir comment peut t on deduire que ?

nn on divise par f(b) et par b on aura alors une forme f'/f sa primitive est ln(f) et 1/b dans lautre membre sa primitive est lnb puis on applique exp pour avoir la solution

en plus la primitive bf'(b) nest pas egale a bf(b)

Bonjour,

Deux remarques :

1) on peut aisément résoudre le problème sans passer par le fait que la fonction est de type n^c. Voir démo 1 ci dessous.

2) le fait que la fonction est n^c est simple à démontrer, et complètement du niveau de ce forum. Voir démo 2 ci-dessous.

============ DEMO 1 ===============
f(a)=a^2 est une solution et donc il existe une solution avec f(3)=9. Il reste à savoir si f(3)=7 ou f(3)=8 sont possibles.

Si f(3)<= 8, on a f(8 )=f(2)^3<f(9)<=64 et donc f(2)<4 et donc f(2)=1,2 ou 3
f(2)=1 est éliminable car cela entraine f(4)=f(2) alors que 4>2, donc contradiction
f(2)=2 est éliminable car cela entraîne f(4)=4 <7<=f(3) alors que 4>3, donc contradiction
f(2)=3 est éliminable car on aurait f(32)=f(2^5)=3^5=243 et f(27)=f(3)^3>=7^3=343 et donc f(27)>f(32), donc contradiction
Donc f(3)> 8
Donc f(3) minimal est 9.
============ Fin demo 1 ============

============ DEMO 2 ================
f de N* dans R
f(ab)=f(a)f(b)
a>b <=> f(a)>f(b)

f ne peut être identiquement nulle, puisque strictement croissante. Soit alors f(u)>0. f(u.1)=f(u)f(1) implique alors f(1)=1.
Soit a>1. Si f(a)<=0, on a f(a^3)<=0<=f(a^2) alors que a^3>a^2. Donc f(a)>0 pour tout a de N*
Soit a>1. Si 0<f(a)<=1, on a f(a^2)<=f(a) alors que a^2>a. Donc f(a)>1 pour tout a>1

Soient alors a>1 différent de b>1. Supposons que ln(f(a))/ln(a) soit différent de ln(f(b))/ln(b). On peut supposer sans restriction que l'on a ln(f(a))/ln(a) < ln(f(b))/ln(b), donc que ln(f(a))/ln(f(b)) < ln(a)/ln(b). Noter que toutes ces expressions ont un sens puisque a, b, f(a) et f(b) sont > 1.
Soient alors m et n entiers tels que ln(f(a))/ln(f(b)) < m/n < ln(a)/ln(b)

On a m ln(b) < n ln(a) et donc b^m < a^n
On a m ln(f(b)) > n ln(f(a)) et donc f(b^m)>f(a^n)
Donc contradiction.

Donc ln(f(a))/ln(a) =ln(f(b))/ln(b) pour tous a, b > 1
Donc il existe un réel c>0 tel que ln(f(a))=c ln(a) pour tout a > 1
Donc f(a)=a^c pour tout a > 1
Donc f(a)=a^c pour tout a de N*
============ Fin demo 2 ==============

Salut Partick,
J'ai Une remarque c'est que cette fonction est définie de IN* vers IN* pas Vers IR (Le correcte énoncé) .ce qui va vous aidez de Plus a simplifié Votre démonstration .
A+

Alaoui.Omar a écrit:

Salut Partick,
J'ai Une remarque c'est que cette fonction est définie de IN* vers IN* pas Vers IR (Le correcte énoncé) .ce qui va vous aidez de Plus a simplifié Votre démonstration .
A+

Oui, absolument.
J'ai utilisé cette caractéristique dans la démo 1, qui est la réponse la plus simp;e au problème demandé.

La démo 2 est au delà du problème et de portée plus générale.
Elle dit que si une fonction de N* dans R est strictement croissante et multiplicative, elle est de la forme f(n)=n^c.
j'ai gardé le caractère général en ne restreignant pas l'image de f à N*.

--
patrick

Merci Patrick, les 2 demos sont complétement correctes.

pco a écrit:

Soient alors m et n entiers tels que ln(f(a))/ln(f(b)) < m/n < ln(a)/ln(b)

Tu veux dire la densité de Q dans R ?

Fourrier-D.Blaine a écrit:

pco a écrit:

Soient alors m et n entiers tels que ln(f(a))/ln(f(b)) < m/n < ln(a)/ln(b)

Tu veux dire la densité de Q dans R ?

Oui, absolument. m et n existent car Q est dense dans R.

--
Patrick

vraiment je sias pas pk f(x)=x^c
moi j'ai fai une autre methode et j'ai trouvé 8 pas 9

mias je sais pas est ce qui'iles juste voila la methode

f(ab)=f(a)f(b) donc si facile de deduire que f(1)=1

alors on remarque que f(2)appartient à (2.3.4.5.6) par suite

on a f(4)=(f(2))^2 donc f(4)appartient à (4.9.16.25.36)

et on a f(2)<f3 et f(3)<f(4) donc f(2)<f(3)<f(4)

si f(2)=2 donc f(4)=4 et f(3)=3 c impossible car f(3)>=7

si f(2)=3 donc f(4)=9 et f(3)=8 alors la valeur minimale de f(3) c 8

abdellatif90 a écrit:

vraiment je sias pas pk f(x)=x^c

As-tu lu ma démonstration ?

abdellatif90 a écrit:

si f(2)=3 donc f(4)=9 et f(3)=8 alors la valeur minimale de f(3) c 8

Alors f(27)=f(3^3)=8^3=512
Mais f(32)=f(2^5)=3^5=243

Et donc f(27)>f(32), ce qui est une contradiction avec l'énoncé.

Donc malheureusement non.

--
Patrick

oui tu as raison j'ai ps fais attention tks

bonsoir

vous pourriez m'expliquer Mr Patrick , comment vous aviez eu l'idée d'arriver à 2^5 ?

Conan a écrit:

bonsoir

vous pourriez m'expliquer Mr Patrick , comment vous aviez eu l'idée d'arriver à 2^5 ?

Bonjour Conan,

J'ai simplement essayé les premières valeurs :
f(2)=3, f(4)=9, f(8 )=27, f(16)=81, f(32)=243, f(64)=729
f(3)=8, f(9)=64, f(27)=512, f(81)=4096,

Mais on peut aussi avoir une approche plus théorique :
f(2^a)=3^a
f(3^b)=2^(3b)
Et on a contradiction si 2^a>3^b et 3^a<2^(3b) ou si 2^a<3^b et 3^a>2^(3b).

Donc si a*ln(2)>b*ln(3) et a*ln(3)<3b*ln(2) ou si a*ln(2)<b*ln(3) et a*ln(3)>3b*ln(2)

Donc si 3*ln(2)/ln(3)>a/b>ln(3)/ln(2) ou si 3*ln(2)/ln(3)<a/b<ln(3)/ln(2)

Donc si 1,8927>a/b>1,5849 ou si 1,8927<a/b<1,5849

Donc par exemple a/b=1,6666=5/3 :
f(32)=243
f(27)=512

Ou encore par exemple a/b=1,75=7/4 :
f(128)=2187
f(81)=4096
etc.
--
Patrick

qqn peut nous poster une méthode facile quel les autres.
cé ce que concerne le 2éme bac
et pour le 1ér bac comment pourrons-nous résoudre ce probléme????????????