exercice de fonction trés dur

f une fonction continue sur R tel que
f(x+y)=f(x)+f(y)

montrer que f(p/q x)= p/q f(x) avec p et q appartenant a Z

monter que f(ax)=af(x) avec x de R

sil vous plait résolvez la question 1 c'est urgent svppp.

merci.

commences par montre : f(nx)=nf(x) ;n est entier naturel

aussi
f(1/x)=-f(x)

ensuite montrer f(-x)=-f(x) et en deduire que f(nx) =nf(x) por n ds Z

pour montre f(-x)=-f(x) penser a calculer f(0)

merci madani .

j'ai montrer que f(nx)=nf(x) .

mais ensuite je bloque j'ai pas pu demontrer le resultat de la question 1.
,,,,,,,,,,,,,??????????????????????????

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) dc f(0)=0 et 0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x) dc : f(-x)=-f(x)
soit n ds Z posons f(nx)=f(--nx)=-f(-nx) =--nf(x)=nf(x)

Pour passer aux rationnels !!
Si r est rationnel de Q+ , r=p/q avec p et q entiers naturels premiers entre eux et q<>0
Calcule donc q.f((p/q).x)=..... en faisant jouer le rôle de x à (p/q).x et utilise << j'ai montrer que f(nx)=nf(x) >>
tu arriveras alors à f(r.x)=r.f(x)
Quel progrès !!!
A+ LHASSANE

et apres montrer que f(1/q x)= 1/q f(x) en ecrivant x = q/q.x

madani a écrit:

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) dc f(0)=0 et 0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x) dc : f(-x)=-f(x)
soit n ds Z posons f(nx)=f(--nx)=-f(-nx) =--nf(x)=nf(x)

Salut,
J'aimerai bien Mr.MaDANI m'expliquer le passage en rouge.
en outre par récurrence c'est plus facile la 2éme question.
A+

commence par calculer f(1/x) en suite f(y/x) apres en deduire que
f(x^n)= nf(x) qlq soit n€ Z

le 1 passage on utilise f(-x),=-f(x) le 2 on utilise f(nx) =nf(x) avec n ds N

madani a écrit:

le 1 passage on utilise f(-x),=-f(x) le 2 on utilise f(nx) =nf(x) avec n ds N

mais arrive pas a utilisé Une chose Reste a démontrer!
Cordialement

ensuite on a f(p/qx)=f(p x/q)=pf(x/q)=p/qf(x)

et pour la 2quistion:
soit An une suite de rationnels qui converge vers a ona :
f(An.x)=Anf(x) et on passe ala limitte car f cont

madani a écrit:

ensuite on a f(p/qx)=f(p x/q)=pf(x/q)=p/qf(x)

1/q n'appartient pas a IN ou Z ME MADANI!

par recurrence imediate on a pour tt n ds IN f(nx)=nf(x)
-f(0+0)=2f(0)donc f(0)=0
ainsi f(nx-nx)=f(nx)+f(nx)=0 d'ou f(nx)=nf(x), pour tt x ds Z
-soit m ds IN ; f(x)=f(m*x/m)=mf(x/m) d'ou f(x/m)=1/m*f(x)
-donc f(p/q*x)=pf(x*q)=p/q*f(x)
soit (U_n) une suite de rationels qui tends vers x
f(U_n)=U_n*f(1)
f est continue on obtien ainsi limf(Un)=limf(x)*f(1)=f(x)*(1)
n~+oo x~1
(~signifie tend vers)

d'ou pour tt x ds IR f(x)=x*a tq a =f(1)

a si omar on a montré f(1/q x)=1/q f(x) !!!

apres on dit que Q est dense en IR cest ça?

o0aminbe0o a écrit:

apres on dit que Q est dense en IR cest ça?

Oui.

c classique