f continue derivable

soit f une fct definie de [a,b] dans R+ (continue derivable sur ]a,b[ et f(a)=0)

soit c de R+ tel que f'(x)<=cf(x) kk soit x de ]a,b[

Montrer que f=0

ind: montrer que f est decroissante

c'est faux !

prendre par ex la fonction definie de [0,1] vers IR f(x)=-5x

f(0)=0 .f derivable et continue
f'(x)=-5 et prendre c=1 on a pour tt x ds [0,1] -5=<-5x

pourtant f n'est pas nulle

BSR à Toutes et Tous !!
Ce que dit saadhetfield corrobore tout à fait ce que je pensais !!
Ton Exo est buggé !!!
Cependant et avec ta permission , il m'a inspiré un autre énoncé et si tu le permets , je le poste sur ton Topic !!

Soit f une application définie et continue sur [a;b] avec a<b ; à valeurs strictement positives ; dérivable sur
]a;b[ et vérifiant :
Il existe une constante c telle que f'(x)<=c.f(x) kk soit x de ]a,b[

Alors on a l'estimation f(x) <=f(a).exp(c(x-a)) kk soit x de [a,b].
A+ LHASSANE

PS: débogue ton exo et on y réfléchira ensuite !!!!

soit x ds ]a,b[.

on a f'(x)=<c.f(x) f est stricmeent positive donc f'(x)/f(x)=<c ce qui equivaut a ln'(f(x))=<c d'ou en integrant entre a et x et f(x) on obtien ln(f(x))- ln(f(a)) =<c(x-a) d'ou le resultat en compsant par exp

C'est exact ( la dérivée logarithmique de f ) !!
A+ LHASSANE
Si on suppose seulement que f garde un signe constant sans jamais s'annuler sur [a;b] alors en prenant cette fois
h(x)=Ln(|f(x)|) et avec ton raisonnement , on obtiendrait :
|f(x)|<=|f(a)|.exp(c.(x-a)) kk x dans [a;b]

effectivement Monsieur ^^

saadhetfield a écrit:

effectivement Monsieur ^^

Tant qu'on y est !!
Mahdi a suggéré de montrer la DECROISSANCE de qqquechose :
il s'agirait sans doute de la fonction k(x)=exp(-cx).f(x)
qui est effectivement decroissante sur [a;b] par hypothèse .
et alors ???
dans ce cas k(x)<=k(a)=exp(-ca).f(a)=0 puisque f(a)=0 donc on a seulement f(x)<=0 kk x dans [a;b]
La conclusion à cet exo serait donc :
<< Montrer que f<=0 sur [a;b] >>
A+ LHASSANE

euh k'(x)=exp(-cx)(-cf(x)+f'x))=<0 .k efeceivement decroissante . dn efeceficmeent on obtien juste f=<0 .

mé sa reste differnet de c ke Mahdi voulait demontrer ! pttr il parle d'une fct où on a f(a)=f(b)=0 é f est decroissante d'ou f=0 ???

saadhetfield a écrit:

euh k'(x)=exp(-cx)(-cf(x)+f'x))=<0 .k efeceivement decroissante . dn efeceficmeent on obtien juste f=<0 .

mé sa reste differnet de c ke Mahdi voulait demontrer ! pttr il parle d'une fct où on a f(a)=f(b)=0 é f est decroissante d'ou f=0 ???

D'accord mais Mahdi a seulement supposé f(a)=0 c'est tout !!!
A+ LHASSANE

ouais . je sais . c'est pour ccela que j'ai suposé qu'il avait oublié suposer que f(b)=0 .


en ts cas on attent mahdi et il va recitifier les choses

Puisque k est DECROISSANTE sur [a;b] alors
k(b)<=k(x)<=k(a)
Or k(a)=0 puisque f(a)=0
C'est vrai que si ON RAJOUTE aussi f(b)=0 alors
k(b) sera aussi NUL et de là k(x)=f(x)=0 kk x dans [a;b]
Mahdi a oublié de rajouter que f(b)=0
C'est 1000% sûr !!!!!
On vient de DEBOGGER l'exo !!
A+ LHASSANE

ouais ! that's right !!

Oeil_de_Lynx a écrit:

saadhetfield a écrit:

effectivement Monsieur ^^

Tant qu'on y est !!
Mahdi a suggéré de montrer la DECROISSANCE de qqquechose :
il s'agirait sans doute de la fonction k(x)=exp(-cx).f(x)
qui est effectivement decroissante sur [a;b] par hypothèse .
et alors ???
dans ce cas k(x)<=k(a)=exp(-ca).f(a)=0 puisque f(a)=0 donc on a seulement f(x)<=0 kk x dans [a;b]
La conclusion à cet exo serait donc :
<< Montrer que f<=0 sur [a;b] >>
A+ LHASSANE

je pense que vous avez pas remarqué que f est definie de [a,b] vers R+

aaah bn on ne l'as pas remarqué.. en tt cas thanks Mahdi ^^

Mahdi a écrit:

.........je pense que vous avez pas remarqué que f est definie de [a,b] vers R+

BJR Mahdi !!
Oui , c'est VRAI !!!!
Mais , on devrait retenir tous ici que dans l'erreur , il peut y avoir du positif !!!
En effet et c'est ce qui est HEURISTIQUE dans le cas présent , on peut remplacer ton hypothèse :
<< soit f une fct definie de [a,b] dans R+ (continue derivable sur ]a,b[ et f(a)=0) >>

Par celle-ci :
<< soit f une fct définie de [a,b] dans R (continue dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b)=0) >>
Quel système d'hypothèse sur f , selon toi , est le plus faible ?????
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Mahdi a écrit:

.........je pense que vous avez pas remarqué que f est definie de [a,b] vers R+

BJR Mahdi !!
Oui , c'est VRAI !!!!
Mais , on devrait retenir tous ici que dans l'erreur , il peut y avoir du positif !!!
En effet et c'est ce qui est HEURISTIQUE dans le cas présent , on peut remplacer ton hypothèse :
<< soit f une fct definie de [a,b] dans R+ (continue derivable sur ]a,b[ et f(a)=0) >>

Par celle-ci :
<< soit f une fct définie de [a,b] dans R (continue dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b)=0) >>
Quel système d'hypothèse sur f , selon toi , est le plus faible ?????
A+ LHASSANE

Oui vous avez raison mais moi au début je l'avais juste copié et apres j'ai essayé de le resoudre

BJR Mahdi !!
Tu n'as pas répondu à ma question !!!!!

Je pense que le système d'hypothèses sur f :
<< soit f une fct définie de [a,b] dans R (continue dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b)=0) >>
est moins LOURD que le premier dans le sens suivant :
on a remplacé une condition GLOBALE sur f à savoir f>=0 par simplement la condition LOCALE f(b)=0.
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR Mahdi !!
Tu n'as pas répondu à ma question !!!!!

Je pense que le système d'hypothèses sur f :
<< soit f une fct définie de [a,b] dans R (continue dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b)=0) >>
est moins LOURD que le premier dans le sens suivant :
on a remplacé une condition GLOBALE sur f à savoir f>=0 par simplement la condition LOCALE f(b)=0.
A+ LHASSANE

Oui je vous ai dit que je suis d'accord avec vous , certes le fait que f(b)=0 rend l'exercice disons plus interessant mais pour ce trouver il fallait commencer par résoudre l'exo dans les conditions ou f>=0 et puis on se rend compte que la condition f(b)=0 est moins lourde comme vous avez remarqué , de toute façon je vous remercie pour cette remarque .

Merci Mahdi
A+ LHASSANE