Equation :

Salut ,

Voilà une equation facile :

résoudre dans IN^3 : x² + y² = 7z²

remarquer que

x² + y² =0 mod7 implique

x=0 mod7 et y=0 mod7

Mwé

et !?

on suppose d'abart que x,y,z£IN*
on continue les divisions successives jusquà ce que x ou y ou z ne soit plus divisible par 7 ,et d'où on déduit la contradiction

la seule solution sera donc x=y=z=0

Exacte !

Seulement je ne vois pas de quel contradiction tu parle !!

on enléve la solution trivial (0;0;0)

x²+y² = 7z² => il existe (k,k') de N² tel que : 49k² + 49k'² = 7z²

donc 7k² + 7k'² = z² d'ou 7/z donc il existe k'' tel que : 7k²+7k'² = 49k''²

d'ou k² + k'² = 7k''² donc (k,k',k'') est une autre solution tel que

k<x et k'<x' et k''<z => contradiction (la descente infinie )

c pas du niveau olympiade , elle été proposée au Baccaleaureat en france

on peut aussi utiliser la descente infini autrement :
on verifie que (x1,x2,x3)= (x/7,y/7,z/7) sont des sollutions entiers non nuls car si 7 divise x ou y alors 7 divise x et y donx 7 divise x²+y² et donc 7 divise z aussi.
donc la descente infini nous montre que (x,y,z) doivent etre premiers avec 7.
donc il est facile de trouver la contraduction puisque :

x²+y²=0(mod 7) donc si y' est l inverse de y(mod7) alors :
(xy')²=-1(mod7) ce qui est contradictoire car -1 n est pas un carré modulo 7.
donc (x,y,z)=(0,0,0)