problème N°35 de la semaine (26/06/2006-02/07/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
On applique IAG
(prod de i=1 à n) xi(1-xi) =< ( (somme de i=1 à n) xi /n)^n * ( (somme de i=1 à n) (1-xi) /n)^n = 1/n^n *( (n-1)/n)^n
A+

salut
solution postée
voici la solution d'eto
salut d pares l inegalite du moyene arithmetiqye geometrique on a
\frac{(\sum_{1}^{n}x_i)^n}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}x_i
dou \frac{1}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}x_i (1)
\frac{(\sum_{1}^{n}1-x_i)^n}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}(1-x_i)
dou \frac{(n-1)^n}{n^n}\geq \prod_{1}^{n}(1-x_i) (2)
et on multipli les deux inegalité : le resultats

Bonjour,
Solution postée.
voici la solution de pco
Bonjour,

Soit f(x) = Ln(x(1-x)) avec x dans ]0,1[
Il est facile de montrer que f(x) est concave (f"(x) < 0)

==> (1/n)somme(f(x_i)) <= f((1/n)somme(x_i))
==> Ln(produit( x_i(1 - x_i))) <= n f(1/n) = n Ln((n-1)/n^2)
==> produit( x_i(1 - x_i)) <= (n-1)^n/n^(2n)

CQFD

--
Patrick

solution postee
aa+
voici la solution de Kalm
en s'ait que: x_1x_2 =<((x_1+x_2)/2)^2
et : x_1x_2x_3 =<((x_1+x_2+x_3)/3)^3
..................................................
donc: la generalisation est
x_1x_2...x_n =<((x_1+x_2+...+x_n)/n)^n
donc: en applique cette inequation
x_1x_2...x_n =<((x_1+x_2+...+x_n)/n)^n
<=> x_1x_2...x_n=< 1/n^n (1)
et:(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)=<((1-x_1+1-x_2+...+1-x_n)/n)^n
<=>:(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)=<((n-1)/n)^n (2)
donc: en fait la multiplication des cote de 1 et 2
x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)=<(1/n^n)*((n-1)/n)^n
<=> x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)=<(n-1)^n/n^n*n^n
<=>x_1(1-x_1)x_2(1-x_2)...x_n(1-x_n)=<(n-1)^n/n^2n

Bonsoir;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelalai
C'est une simple conséquence de la convexité de la fonction f : x ---> -ln(x-x²)
Si on veut être plus précis (f étant strictement convexe) on a même le cas d'égalité : x1=x2=..=xn