Problème de Juillet 2008

Soit p :IR --> IR de classe C infini et y solution de l'équation différentielle : y ''(x) + p(x)y'(x) − y(x) = 0.
Montrer que si y a plus d'un zéro, alors y est nulle.

Salut,
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Merci

c'est pas une solution mais voir le message privé Monsier attioui.

boukharfane radouane a écrit:

c'est pas une solution mais voir le message privé Monsier attioui.

L'énoncé est rectifié, merci.

salut tout le monde.
Solution postée par mp .


SALUT MONSIEUR ATTIOUI et MERCI POUR CE JOLI PROBLÈME.
Soient a et b deux zéros différents de la fonction y, puisque y est continue sur toute l’intervalle IR, alors elle l’est aussi sur [a, b], on sait aussi que toute fonction y continue sur un intervalle fermé admet une borne supérieur et inférieur qui sont de plus atteints par y, soient donc m et M respectivement ses valeurs inférieurs et supérieurs avec m, M appartiennent à] a, b [.
Pour montrer que y est identiquement nulle sur [a, b], il faut montrer que y (m) et y (M) sont nulles.
Supposons par absurde que l’un des deux valeurs est non nul.
Quitte à remplacer y par –y on peut supposer que y (M)>0, ainsi il vient aisément que
y’ (M)=0 et y’’ (M)=<0, ce qui donne y’’(M)+q(M)y’(M)-y(M)<0, absurde avec l’équation différentielle vérifiée par y.
L’autre cas est semblable à celui-ci, on obtient y’’ (m) +q (m) y’ (m)-y (m)>0.
Ainsi y est identiquement nulle sur [a, b].
D’autre part soit x £ [a, b] d’où y(x)=y’(x)=0, d’après CAUCHY, la fonction y est unique, ce qui prouve que y est identiquement nulle sur toute l’intervalle IR.
CQFD.