exo d'oral (intégral )

Il manque un signe moins lnt est =<0 sur [0,1]
Ecrivons l'exp ss sa réelle forme
si on note I lintegral qu on a entre les mains et In=integ_{0}^{1}sum{k=0^n}t^k.ln(t)/k!
I-In=integ_{0^1}sum[k=0..n]ln(t).(exp(t)-1-t-t²/2!-..t^n/n!) , on peut majorer ce qui est engras et ce qui doiot surment tendre vers 0
d'autre par on unteg(0^1)ln(t).t^kdt=-1/(k+1)²

sum{n=0^+00}1/n.n!=sum{n=0^+00}int_{0^1}x^(n-1)/n!dx=int_{0^1}1/xsum{n=0^+00}x^n/n!dx
=int_{0^1}e^x-1/xdx=int_{0^1}e^xln(x) dx

remarques :
1- il faut d'abord justifier l'existance de l'integrale
e^tln(t) ~ ln(t) en o...
2-justifier l'intervertion de limite et integrale!.

kalm a écrit:

sum{n=0^+00}1/n.n!=sum{n=0^+00}int_{0^1}x^(n-1)/n!dx=int_{0^1}1/xsum{n=0^+00}x^n/n!dx
=int_{0^1}e^x-1/xdx=int_{0^1}e^xln(x) dx

oui biensur la verification est necessaire