IMO 2008 question 2 : madrid

l'inegalité equivaut :
1/(1-xy)²+1/(1-zy)²+1/(1-xz)²>=1 ùù
or ll'un des nbr xy,xz,zy,est forcement >o ùù est verifiée.se

au premeir vu je pense que c'est plus un exo d'olympiad...really.
l'approche de selrespect est tres bonne...
on peut aussi suivre la démarche la plus ennuyeuse en posons par exemple z=1/xy sanchat que les deux nombres ne sont pas nul puis remplacer ds z²/(z-1)².
on obtient apres tous calcul fait...en faisant la différence...
et en remplaçons x+y=m et xy=n on obtient (m+n²-3n)²>=0 ce qui vrai.
la deixiè_me question estsimple comme bonjour
ce qu'on cherhce c'est l'égalité ce qui veut dire m+n²-3n=0 ou encore y²+(x-3)*y+1/x ,donnat une valeur à x on obtient celle de y et par suite de z...c'est un a dire on va paramétrer par y...c'est tout..

Effectivement , c'est çace que je pense moi aussi c'est presque "banal" comme exo dolymp international...

lol

je pense qu'en répondant à la premeire question la deuxième devient banal.....

ben je suis sur que mahmoud va répondre à cette question sinon je vais le....

kalm a écrit:

hhhhhhhh,oui,pour savoir que stof065 et fourrier had sba7 majawbouch 3la hadchi,mais l'interessant c'est le cas d'égalité de cette inego,la question b)

je pense po qu il y'aura egalité un jour une 28 points pour notre equipe

!!!!!!!! l3jab

hélas wahadouk les chinois taymchiw yjibou la notte parfait wahna dialna taymchi li siyaha wa raha(en plus hadi ra l'espagne wama adrak ma spagnia) mais le prob c'est pas le prob des participants c'est l'enseignement qui leur prive de leur potentiel

memath a écrit:

!!!!!!!! l3jab

je crois que le cas d'egalité est a=b=c=(V3-1)/2 ou a=b=c=(-V3-1)/2

hhh,nn il sont demander des rationels,alors 9lb

boukharfane radouane a écrit:

hélas wahadouk les chinois taymchiw yjibou la notte parfait wahna dialna taymchi li siyaha wa raha(en plus hadi ra l'espagne wama adrak ma spagnia) mais le prob c'est pas le prob des participants c'est l'enseignement qui leur prive de leur potentiel

moi j tout vu dans le stage,w ana jawbt w machditch mes points,w fach jit nhdr 9m3ouni,w fach writ mes solution l mahmoud l9inahoum juste,w mahmoud ma dit que rah kayakhdou lisahlin lihoum f tas7i7 w lba9i zbbala,lghazali et lmoussawi,khashoum ydrdbou mn tma,wach a3ibad lah likatgoulih abcd>16>1/16 w katkhdm b abcd>1/16 w kaygoulik nn,w contre exemple houwa abcd=5 ,!!3lah yal7mar mahltch lk abcd>16,w bwjhou 7mr bda kayghawat 3lia,olympiades f maroc,0,et bla andkr smayatchi drari f l'imo daba darou nafs solution lkayna f wa7d lktab w sawlouhoum wach n9lou wla nn,lmouhim flkhr t7sbat lihoum la solution,ila bghina lmaghrib yjib mzian,khass hadouk l9abaricha ythzou mn tma,w bnadm li 7afd tamarinw l7oulou,w tal3 l'imo chnou ba9i katsalou hadak ???!!!,pour plus d'info et de misda9ia swlouhoum ila bghaw yhdrou,et limzian tma mahmoud et amina,kaykhdmou b l39l,w hada li chft

La question b) demande de prouver qu'il y'a une infinité de triplets rationels (x,y,z) qui determinent le cas d'égalité.

dans ce cas comm a dit redouane à partir de a) ca devient facile car par calcul seulement :



donc ilé clair que le cas d egalité est quand xy+yz+zx=3

<==> 1/z+1/y+yz qui peut etre ecrit sous forme de polynome de degré 2 p(y) et on calcul le determinant on trouve que c un carré parfait donc l eqiution p(y)=0 admet des solutions rationelles

kalm a écrit:

memath a écrit:

!!!!!!!! l3jab

je crois que le cas d'egalité est a=b=c=(V3-1)/2 ou a=b=c=(-V3-1)/2

hhh,nn il sont demander des rationels,alors 9lb

boukharfane radouane a écrit:

hélas wahadouk les chinois taymchiw yjibou la notte parfait wahna dialna taymchi li siyaha wa raha(en plus hadi ra l'espagne wama adrak ma spagnia) mais le prob c'est pas le prob des participants c'est l'enseignement qui leur prive de leur potentiel

moi j tout vu dans le stage,w ana jawbt w machditch mes points,w fach jit nhdr 9m3ouni,w fach writ mes solution l mahmoud l9inahoum juste,w mahmoud ma dit que rah kayakhdou lisahlin lihoum f tas7i7 w lba9i zbbala,lghazali et lmoussawi,khashoum ydrdbou mn tma,wach a3ibad lah likatgoulih abcd>16>1/16 w katkhdm b abcd>1/16 w kaygoulik nn,w contre exemple houwa abcd=5 ,!!3lah yal7mar mahltch lk abcd>16,w bwjhou 7mr bda kayghawat 3lia,olympiades f maroc,0,et bla andkr smayatchi drari f l'imo daba darou nafs solution lkayna f wa7d lktab w sawlouhoum wach n9lou wla nn,lmouhim flkhr t7sbat lihoum la solution,ila bghina lmaghrib yjib mzian,khass hadouk l9abaricha ythzou mn tma,w bnadm li 7afd tamarinw l7oulou,w tal3 l'imo chnou ba9i katsalou hadak ???!!!,pour plus d'info et de misda9ia swlouhoum ila bghaw yhdrou,et limzian tma mahmoud et amina,kaykhdmou b l39l,w hada li chft

a weddi a Kalm wolahila j'ai eu un probléme pareil f les olympiads aussi mais m3amen rathder, kola wahed fina hnaya tay3ref lakhor wo tay3r ef niveau dialo ,bla matzid tehder a weddi ri madeya3ch lwa9t 3la walou , Montré ta Force hnaya c trés suffisant
a+

slt MEHDI

l9it hadchi



mais

chose sur et certain, ceux qui prennet la responsabilité de choisir doivent laisser leurs places à des gens plus compétents et plus talentueux,autrement dit,rahom cherfou wab9aw f hadak lkorssi bezaf,ce qui exlplique les mauvaises nottes et les catastrophiques participations.

l un de nous doit avoir some mistakes , mais moi jé calculé ac maple donc ....
n oublie pas xyz=1

boukharfane radouane a écrit:

chose sur et certain et j'ai eu cette remarque de la part de trois de mes amis qui ont participé cette année au TEST IMO (l'un estmon camarade de la classe qui a partcipé l'année dérnière et a eu une trés bonne notte 7 si je me rappelle,l'autre est mon collegue du centre ,) ils ont tous insisté sur le point que ceux qui prennet la responsabilité de choisir doivent laisser leurs places à des gens plus compétents et plus talentueux,autrement dit,rahom cherfou wab9aw f hadak lkorssi bezaf,ce qui exlplique les mauvaises nottes et les catastrophiques participations.

bsr!!
A propos des olympiades ils ne regardent pas seulemen les réponses esk'elles sont justes, mais la méthode ke vs avez utilisé! enfin c ce ke jé entendu parler...

boukharfane radouane a écrit:

chose sur et certain et j'ai eu cette remarque de la part de trois de mes amis qui ont participé cette année au TEST IMO (l'un estmon camarade de la classe qui a partcipé l'année dérnière et a eu une trés bonne notte 7 si je me rappelle,l'autre est mon collegue du centre ,) ils ont tous insisté sur le point que ceux qui prennet la responsabilité de choisir doivent laisser leurs places à des gens plus compétents et plus talentueux,autrement dit,rahom cherfou wab9aw f hadak lkorssi bezaf,ce qui exlplique les mauvaises nottes et les catastrophiques participations.

C'est surement pour cela que le Maroc est toujours classé ds les dérnière places et que c résultats sont de plus en plus catastrophiques année aprés année.

memath a écrit:

dans ce cas comm a dit redouane à partir de a) ca devient facile car par calcul seulement :



donc ilé clair que le cas d egalité est quand xy+yz+zx=3

<==> 1/z+1/y+yz qui peut etre ecrit sous forme de polynome de degré 2 p(y) et on calcul le determinant on trouve que c un carré parfait donc l eqiution p(y)=0 admet des solutions rationelles

j'ai vu une methode pareille a la tienne sur mathlinks
ql belle coincidence
et aussi celui qui la ecri sur mathlinks a fait comme toi sans demo
une seule ligne

WoooooW j'adoooore les coinsidences surtt le meme jour^^

wa il ya pa de demo c juste du calcul lol , je n savé pa que tu avais des problemes en calcul desolé

on calcul et on remplace tout ce qui est xyz par 1



edit : j ai oublié un sum(x²y²) dans la partie avant = (xy+yz+zx-3)²

memath a écrit:

wa il ya pa de demo c juste du calcul lol , je n savé pa que tu avais des problemes en calcul desolé

on calcul et on remplace tout ce qui est xyz par 1



edit : j ai oublié un sum(x²y²) dans la partie avant = (xy+yz+zx-3)²

comment savoir que la somme trouvé est égale à (xy+yz+zx-3)² ??

wa sahbi , quand on calcul ce n est pas pr calculer seulemnt mais pour trouver une expression positif donc faut penser à factoriser , et puis j ai deja signalé que j ai utilisé un logiciel qui s apelle mapple , donc pas la peine de jouer le detective mr.Conan

memath a écrit:

wa il ya pa de demo c juste du calcul lol , je n savé pa que tu avais des problemes en calcul desolé

on calcul et on remplace tout ce qui est xyz par 1



edit : j ai oublié un sum(x²y²) dans la partie avant = (xy+yz+zx-3)²

dsl mais c pas la premiere foi que tu triche
et je te jure kima konti rah mate9darch tewsal n dik formule bo7dek
en fait si l'exo etais : demontrer que dik la somme est egale à (xy+yz+zx-3)² ça devien tres facile seulement faut factoriser mais je te jure que tu poura pa y arriver seulement par petite remarque
amicalement
et n'essai pas de me dire que tu es geni
mais ça sera sympa de dire oui je l'ai vu et j'ai essayé de de la demontrer n'est ce pas ??


@++ pren soin de toi

Oui t a rison Yassine-mansouri !

Alor memath??