exercice )3(:

exercice )3(:

soit f:R-->(0,+oo) une fonction qui vérifie la propriéte suivante: lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2.
prouver que lim(x-->0)f(x)=1.

lim f(x) + 1/f(x) =2 <=> lim (f(x)² +1 )/f(x) = 2
<=> lim (f(x) - 1)² =0
<=> lim f(x) = 1

c'est ça boukharfane radouane ?

je pense que non car tu as supposer que f admet une limite ce qui n'est pas garanti!

f(x)=2.x.sin(1/x) si x#O et f(O)=O
verifie la proprieté mais alors lim f(x)-->O ?

selfrespect a écrit:

f(x)=2.x.sin(1/x) si x#O et f(O)=O
verifie la proprieté mais alors lim f(x)-->O ?

t'es sur que cette foncition vérifie la propriété?!

boukharfane radouane a écrit:

selfrespect a écrit:

f(x)=2.x.sin(1/x) si x#O et f(O)=O
verifie la proprieté mais alors lim f(x)-->O ?

t'es sur que cette foncition vérifie la propriété?!

j'ai vu lim f(x)+f(1/x) desolé ,
bin en tt cas lim f(x)+1/f(x)=2 assure que f est bornée dans un voisinage de zero , et f>O dans ce voisinage :
et donc la demarche de shebichevavec qq rectification assure le resultat.

bon par dèfinition on a de tout a>0 il existe un e tel que /x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<f(x)*a==>/f(x)-1/=<af(x)/(/f(x)-1/) on met a'=a*f(x)/(/f(x)-1/) donc part dèfinition on a lim de f =1

on sait pas si f(x)-1>0 pour poser a'!

je crois qu'elle a une valeur absolue |f(x)-1| mais le probleme c'est de montrer que f(x)#1 (quelque soit x dans IR) pour diviser par |f(x)-1|

on a qu as suposè deux cas si f est diffèrent de 1 on va utilisè la dèmo que j ai fait sinon f=1 donc sa lim en tou serait 1

shym a écrit:

on a qu as suposè deux cas si f est diffèrent de 1 on va utilisè la dèmo que j ai fait sinon f=1 donc sa lim en tou serait 1

non mais tu sais pas le comportement de f au voisinage de 1?

mathema a écrit:

je crois qu'elle a une valeur absolue |f(x)-1| mais le probleme c'est de montrer que f(x)#1 (quelque soit x dans IR) pour diviser par |f(x)-1|

f=1 répond à la question...

salam.(rah jani n3ass .yak ma tankhrbe9)
on
lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2 <==>lim(x-->0) (f(x)+1/f(x)-2)=0
<==> por tous x de R il existe a tel que
/x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<f(x)*a
on pose af(x)=a' ( il est clair que f(x)=/=0)
donc
por tous x de R il existe a' tel que
/x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<a'
<==> limx-->0 (f(x)-1)²=0 ==> limx--> /f(x)-1/=0
==> lim(x-->0)f(x)=1

ecossan a écrit:

salam.(rah jani n3ass .yak ma tankhrbe9)
on
lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2 <==>lim(x-->0) (f(x)+1/f(x)-2)=0
<==> por tous x de R il existe a tel que
/x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<f(x)*a
on pose af(x)=a' ( il est clair que f(x)=/=0)
donc
por tous x de R il existe a' tel que
/x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<a'
<==> limx-->0 (f(x)-1)²=0 ==> limx--> /f(x)-1/=0
==> lim(x-->0)f(x)=1

BJR ecossan !!
Ton a' dépend MALHEUREUSEMENT de x ( via f(x) ) !!!!!!!!!!!!!!!!!
Dans la définition de la limite , le a ou le a' ne dépend que de epsilon et de 0 .
Celà dit jak n3ass , je crois ! Alors Bonne Nuit !!

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

ecossan a écrit:

salam.(rah jani n3ass .yak ma tankhrbe9)
on
lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2 <==>lim(x-->0) (f(x)+1/f(x)-2)=0
<==> por tous x de R il existe a tel que
/x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<f(x)*a
on pose af(x)=a' ( il est clair que f(x)=/=0)
donc
por tous x de R il existe a' tel que
/x/=<e ==>/f(x)+1/f(x) -2/=<a ==>(f(x)-1)²=<a'
<==> limx-->0 (f(x)-1)²=0 ==> limx--> /f(x)-1/=0
==> lim(x-->0)f(x)=1

BJR ecossan !!
Ton a' dépend MALHEUREUSEMENT de x ( via f(x) ) !!!!!!!!!!!!!!!!!
Dans la définition de la limite , le a ou le a' ne dépend que de epsilon et de 0 .
Celà dit jak n3ass , je crois ! Alors Bonne Nuit !!

LHASSANE

ssalam mr LHASSAN
a'depend de x qui depend de epsilon et 0
donc a' depend de epsilon et 0.
bonne nuit

à mon avis c'est bien lol

bravo hypermb,c'est mon démonsration à la lettre!

on peut trouver e>0 tel que lorsque |x|<e on a f(x)<3. soit eps>0 et delta>0 tel que lorsque |x|<delta on a |f(x)+1/f(x)-2|<(eps)^2/3. ainsi pour |x|<delta on aira |f(x)-1|^2=|f(x)|*|f(x)+1/f(x)-2|<3*(eps)^2/3=(eps)^2, d'où la conclusion.

BJR à Toutes et Tous !!!
BJR Rédouane & hypermb !!!

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec Vous !
L'hypothèse sur f à savoir :
lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2
serait contradictoire avec la supposition :
<< f n'est pas bornée >>
En effet si on suppose que f est non bornée :
Pour tout A>0 il existe x(A) dans IR tel que f(x(A))>A
On sait qu'alors , on peut fabriquer une suite {xn}n de IR telle que Lim f(xn)=+oo qd n--->+oo
( il suffira de prendre A=n pour chaque entier n et xn=x(A=n) )
il en résultera que Lim {f(xn)+{1/f(xn)}}=+oo au lieu de 2 !!!!!
En conclusion : f est BORNEE sur IR et il existe M>0 tel que l'on ait
0<=f(x)<M pour tout x dans IR

A partir de là , on peut greffer vos démos respectives et de manière plus simplifiée ......

Pour tout EPS >0 il existe ETA >0 tels que si |x|<=ETA alors :
|f(x)+1/f(x)-2|<={EPS/rac(M)}^2
d'ou :
|f(x)-1|^2<={EPS/rac(M)}^2.|f(x)|<={EPS/rac(M)}^2.M={EPS}^2 et c'est tout !!

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!!
BJR Rédouane & hypermb !!!

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec Vous !
L'hypothèse sur f à savoir :
lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2
serait contradictoire avec la supposition :
<< f n'est pas bornée >>
En effet si on suppose que f est non bornée :
Pour tout A>0 il existe x(A) dans IR tel que f(x(A))>A
On sait qu'alors , on peut fabriquer une suite {xn}n de IR telle que Lim f(xn)=+oo qd n--->+oo
( il suffira de prendre A=n pour chaque entier n et xn=x(A=n) )
il en résultera que Lim {f(xn)+{1/f(xn)}}=+oo au lieu de 2 !!!!!
En conclusion : f est BORNEE sur IR et il existe M>0 tel que l'on ait
0<=f(x)<M pour tout x dans IR

A partir de là , on peut greffer vos démos respectives ......

LHASSANE

Je crois que f n'est pas bornée sur IR, contre exemple :
soit la fonction f définie par parties par :
f(x)=1 si -1<x<1
f(x)=x² sinon
on a en effet : lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2 mais ...
par contre il existe un voisinage de 0 où la fonction est bornée (c'est ce qu'on a utilisé) ...

ssalam MR LHASSANE et tous.(chof ach banlk f hadi)
f(x)+1/f(x)=g(x).on a :
lim(f(x)-->1)g(x)=2=lim(x-->0) g(x).
donc lim (f(x)-1)-->0 g(x) = lim(x-->0) g(x)

donc lim (f(x)-1)=0
x-->0

hypermb a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!!
BJR Rédouane & hypermb !!!

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec Vous !
L'hypothèse sur f à savoir :
lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2
serait contradictoire avec la supposition :
<< f n'est pas bornée >>
En effet si on suppose que f est non bornée :
Pour tout A>0 il existe x(A) dans IR tel que f(x(A))>A
On sait qu'alors , on peut fabriquer une suite {xn}n de IR telle que Lim f(xn)=+oo qd n--->+oo
( il suffira de prendre A=n pour chaque entier n et xn=x(A=n) )
il en résultera que Lim {f(xn)+{1/f(xn)}}=+oo au lieu de 2 !!!!!
En conclusion : f est BORNEE sur IR et il existe M>0 tel que l'on ait
0<=f(x)<M pour tout x dans IR

A partir de là , on peut greffer vos démos respectives ......

LHASSANE

Je crois que f n'est pas bornée sur IR, contre exemple :
soit la fonction f définie par parties par :
f(x)=1 si -1<x<1
f(x)=x² sinon
on a en effet : lim(x-->0) (f(x)+1/f(x))=2 mais ...
par contre il existe un voisinage de 0 où la fonction est bornée (c'est ce qu'on a utilisé) ...

OUI hypermb !! Tu as raison !!
Je me suis un tantinet gourré !! J'en suis confus et DSL !!!!
C'est celà aussi l'HUMILITE !!
Car celà se passe sur un voisinage de 0 ; la limite étant qd x---> 0 !!!
Merci bcp !!

LHASSANE

ecossan a écrit:

ssalam MR LHASSANE et tous.(chof ach banlk f hadi)
f(x)+1/f(x)=g(x).on a :
lim(f(x)-->1)g(x)=2=lim(x-->0) g(x).
donc lim (f(x)-1)-->0 g(x) = lim(x-->0) g(x)

donc lim (f(x)-1)=0
x-->0