Dérivée n-ième

trouver la dérivée n-ième de f(x)=1/(1+x^2)

imane20 a écrit:

trouver la dérivée n-ième de f(x)=1/(1+x^2)

BJR imane20 !!
C'est pas facile ton Truc !!!!
Enfin , je vais essayer mais je vais utiliser des choses de manière formelle , sans trop justifier car Hors-Programme du BACSM !!

On peut écrire d'abord :
f(x)=(1/(2i)).{{1/(x-i)} - {1/(x+i)}}
ou << i >> est le fameux nombre complexe imaginaire .....
Puis on se rappellera que :
La dérivée n-ième de {1/x+a)} est :
(-1)^n.n! /{(x+a)^(n+1)}
qui peut se démontrer par récurrence sur n .

Après , il suffira de conclure que :
La dérivée n-ième de f est :
{(-1)^n.n! /(2i)}.{ 1/(x-i)^(n+1) - 1/(x+i)^(n+1) }
qui pourra s'écrire aussi :
{1/(1+x^2)^(n+1)}.{(-1)^n.n! /(2i)}.{ (x+i)^(n+1) - (x-i)^(n+1) }
Cette dernière expression peut être améliorée en utilisant la Formule du Binôme de Newton pour obtenir une expression meilleure ( les termes avec les << i >> vont disparaitre ) !!
Mais j'ai pas le courage de continuer .....
Tu vois que ce n'est pas facile !!

LHASSANE

exo 99 page 193 almoufid analyse 1 ér SM

1_calculer f'(x) , f"(x) , f"'(x)

2_by tarajo3 prouver que pour tous n £ IN et x £ IR



avec p_n(x) polynome du n éme d°

y-a-ss-i-n-e a écrit:

exo 99 page 193 almoufid analyse 1 ér SM

1_calculer f'(x) , f"(x) , f"'(x)

2_by tarajo3 prouver que pour tous n £ IN et x £ IR



avec p_n(x) polynome du n éme d°

BJR y-a-ss-i-n-e !!
Avec ma méthode , je te donne même l'expression EXPLICITE de ton polynôme p_n(X) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
p_n(X)={(-1)^n.n! /(2i)}.{ (X+i)^(n+1) - (X-i)^(n+1) }

Et je n'ai pas vu Al-Moufid que je ne connais pas !!

LHASSANE

Bonjour tt le monde ;;

Merci Mr LHASSAN pr votre aide mé je vois ke c hors programme du bac comme vs avez dit,, j ai essayé et j ai trouvé que:

f'(x)=-2x/(1+x^2)^2 puis f''(x)=2(3x^2-1)/(1+x^2)^3 et f"'(x)=-24x(x+1)(x-1)/(1+x^2)^4
Mé le prob c est ke j ai pa pu obtenir la formule de P_n(X) a partir les dérivées calculées;;

imane20 a écrit:

Bonjour tt le monde ;;

Merci Mr LHASSAN pr votre aide mé je vois ke c hors programme du bac comme vs avez dit,, j ai essayé et j ai trouvé que:

f'(x)=-2x/(1+x^2)^2 puis f''(x)=2(3x^2-1)/(1+x^2)^3 et f"'(x)=-24x(x+1)(x-1)/(1+x^2)^4
Mé le prob c est ke j ai pa pu obtenir la formule de P_n(X) a partir les dérivées calculées;;

BJR imane20 !!
Je t'avais prévenue que c'était Hors-Programme BACSM !!
Pour les polynômes Pn(X) , tu pourras essayer de trouver une relation de récurrence entre Pn+1(X) et Pn(X) en dérivant une seule fois
{f^(n)(x)}=Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
Mai c'est SIMPLEMENT des calculs , on peut tirer de ce que j'ai fait , l'expression explicite de Pn(X) !!
Ce sont justes des CALCULS LONGS et MECHANTS .........

LHASSANE

Ok Mr LHASSANE merci bcp