Système d'équations fonctionnelles.

Trouver toutes les fonctions f:R->R pour lesquelles x(f(x+1) - f(x)) = f(x) pour tout x € R et |f(x) - f(y)| <= |x-y| pour tous x, y € R.

Bonsoir mathman;
Je dirais que f(x)=ax avec |a|<=1 (sauf erreur)

Bonjour,

elhor_abdelali a écrit:

Je dirais que f(x)=ax avec |a|<=1

Tu as parfaitement raison.

x(f(x+1) - f(x)) = f(x) ==> f(x+n) = f(x) (x+n)/x Pour tout n de Z et tout x non nul.

Donc f(n) = f(1)n
Dans |f(x) - f(y)| <= |x-y| , faisons x=x0+n et y = [x0] + n, avec x0 quelconque non nul :
f(x) = f(x0+n) = f(x0) (x0+n)/x0
f(y) = f([x0] + n) = f(1)([x0]+n)

f(x) - f(y) = n (f(x0) /x0 - f(1)) + f(x0) - f(1)[x0]
x - y = x0 - [x0]

Ainsi |x - y| est borné (par 1) alors que |f(x) - f(y)| ne peut l'être que si le coefficient de n est nul, c'est à dire si f(x0) /x0 - f(1) = 0, et donc si :

f(x0) = f(1) x0, pour tout x0 non nul
Donc f(x) = ax (puisque on a directement f(0) = 0)

Il reste à vérifier que cette condition nécessaire est suffisante, ce qui conduit à rajouter |a| <= 1.

Joli problème encore et bravo elhor_abdelali

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Patrick