exo: continuité de fg en un point

f et g deux fonctions définit sur l'intervalle ouvert I et x0£I ;tel que:
*** f est bornée sur I et discontinue en x0;et g est continue en x0;
prouvez que fg est continue en x0 si et seulement si g(x0)=0

Il vaut mieux le réecrire en francais!!!

ca sent la contraposée (peut etre)

MA3REFTCHE MALEK MA3A HADE CONTRAPOSER :d

n'importe ou je voi une IDA KANA je la demntre par contraposé ca rend les iplications faciles !! oui oui !

khatir123 a écrit:

f et g deux fonctions définit sur l'intervalle ouvert I et x0£I ;tel que:
*** f est bornée sur I et discontinue en x0;et g est continue en x0;
prouvez que fg est continue en x0 si et seulement si g(x0)=0

BSR à Toutes et Tous !!
Cet Exo me plait beaucoup et je m'en vais essayer !!

On va montrer deux implications :
{ g(x0)=0 } ======>{ fg continue au point x0 }
et puis la réciproque :
{ fg continue au point x0 } =====> { g(x0)=0 }

VOYONS LA PREMIERE.
Supposons g(x0)=0
Pour x dans I et x voisin de x0, on peut écrire :
f(x)g(x) - f(x0)g(x0)=f(x).{g(x)-g(x0)} + g(x0).{f(x)-f(x0)}
=f(x).{g(x)-g(x0)}
f étant BORNEE sur I alors , il existe M > 0 tel que |f(x)|<=M pour tous x dans I d'ou :
|f(x)g(x) - f(x0)g(x0)|=|f(x)|.[g(x)-g(x0)|<=M.|g(x)-g(x0)|
Grace au Théorème des Gendarmes , on obtient :
Lim{x---->x0 ; f(x)g(x) }=f(x0)g(x0) car Lim{x---->x0 ; g(x) }=g(x0)

POUR LA DEUXIEME.
Je vous propose que vous la fassiez !! Ce n'est pas une dérobade de ma part mais simplement une opportunité pour que vous réfléchissiez !!!

bonjour Mr.Oeil_de_Lynx
**pour démontrer la premiere implication est ce qu'on ne peut pas faire comme ça:
lim fg(x) en x0=(lim f(x) en x0)(lim g(x) en x0)=0(lim f(x) en x0)=0
et on a fg(x0)=f(x0)g(x0)=0 donc fg est continue en x0

c logique^^

démonstration de la deuxieme implication:
on a: lim fg(x) en x0=g(x0)lim f(x) en x0=f(x0)g(x0) (car fg est continue en x0)
==>g(x0)(lim f(x) en x0-f(x0))=0==>g(x0)=0 (car (lim f(x) en x0#f(x0) )

quesque vous en dite Mr LHASSANE????

khatir123 a écrit:

bonjour Mr.Oeil_de_Lynx
**pour démontrer la premiere implication est ce qu'on ne peut pas faire comme ça:
lim fg(x) en x0=(lim f(x) en x0)(lim g(x) en x0)=0(lim f(x) en x0)=0
et on a fg(x0)=f(x0)g(x0)=0 donc fg est continue en x0

BSR khatir123 !!
Excuses-moi , je n'avais pas vu !!
Bien sûr que c'est juste !!!
Par souci de professionnalisme , je veille à ce que mes démos soient toujours complètes et bien rédigées avec le maxi d'explications !!

et en ce qui concerne la démonstration de la deuxieme implication???

khatir123 a écrit:

et en ce qui concerne la démonstration de la deuxieme implication???

Celà m'a l'air correct même si tes écritures ne sont pas faciles à décoder !!

khatir123 a écrit:

et en ce qui concerne la démonstration de la deuxieme implication???

je me demande si Mr ma réponse restrai juste si (lim f(x) en x0-)#(lim f(x) en x0+)=f(x0)?????

khatir123 a écrit:

bonjour Mr.Oeil_de_Lynx
**pour démontrer la premiere implication est ce qu'on ne peut pas faire comme ça:
lim fg(x) en x0=(lim f(x) en x0)(lim g(x) en x0)=0(lim f(x) en x0)=0
et on a fg(x0)=f(x0)g(x0)=0 donc fg est continue en x0

BSR khatir123 !!
DSL !!
Il y a un truc qui m'a terriblement échappé dans ta Démo ( et c'est en allant sur MathsLand que je m'en suis aperçu !! )
Tu parles de Lim{x-->xo; f(x)} qui n'est pas censée exister , tout ce qu'on sait de f c'est qu'elle est BORNEE et non continue en xo !!!

Tu ne peux écrire :
<< lim fg(x) en x0=(lim f(x) en x0)(lim g(x) en x0) >>
que si les limites sollicitées EXISTENT toutes !!!!!!