Equation dans Z

Salut à tous

Déterminer tout les entiers (m,n) qui réalisent: m^n=n^m

Slt ... sami!!!

je crois que c'est pas dure !!
soit n;m#0

pour que n et m ont des signe defferente c'est impossible...

soit alors signe(m)=signe(n).

(1) soit n;m£IN*:

REMARQUE (H):
" alors: soit f la fonction définie par:

f: IR*+----->IR
x----> ln(x)/x

f est dérivable et f'(x)= {1-ln(x)}/x² donc pour tt x>e f(x) est décroissante alors f injective.
(de méme pour ]0;e[)
alors f injective sur D=]0;ee;+00[.

et ensuite pr tt x;y£D f(x)=f(y)===>x=y"

pour l'exo:

on a n^m = m^n ==> m.ln(n) = n.ln(m) ===> ln(n)/n = ln(m)/m (L)

et d'aprés (H): (L) ===> n=m (pr tt n;m£IN*)

alors tout les entiers (n,m) sont les entiers (n;n) (n£IN*) (qui est evident!!!)

[u] soient n;m£(-IN*) (<0):

on a alors (p=-m); (q=-n) £IN*

m^n = n^m ===> (-p)^(-q) = (-q)^(-p)

====> (-1)^q (1/p^q) = (-1)^p (1/q^p)

====> (-1)^q-p = (p^q)/(q^p) >0

====> q=2k+p (k£Z) et p^q=q^p

====> p=q (d'aprés (1))

====> m=n.

la même chose!!!

JE considère que: 0^0=1 (existe!!!)

pour conclure que: tt les entiers sont de type (n;n) pr tt n£Z.
C.Q.F.D
chokran

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L'analyse ....>>

2^4=4^2

oui kalm je crois qu joublie quand j'ai rentré le "Ln" que si
m=n^p ou n=m^q p;q#1

c'est le cas restant car c'est le cas unique ou on peut simplifier par ln(n) ou ln(m) en effet:

m^n = n^m ===> nln(m) = mln(n) ===> nln(n^p)=n^pln(n)

===>pn=n^p ===> p=n^(p-1) ===> n= p^(1/(p-1))

et pour que n£IN il faut 1/(p-1)£IN ===> p=2.

d'où n=2 et m=n^2=4 c'est la seule solution (4;2) manqué si NON donnée un autre contre-exemple et bonne chance .
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shit o safi lol