problème N°27 de la semaine (01/05/2006-07/05/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution de Abdelbaki attioui
On pose : x_n= 0,333... où le nombre 3 figure n fois. Il s'agit de calculer
la somme S= x_1+x_2+...+x_N pour N >= 1.
On a : x_n=3.10^(-n) (1+10+10²+...+10^(n-1))=3.10^(-n)(10^n -1)/9=(1-10^(-n))/3
Alors : 3S=N-(10^(-1)+...+10^(-N))
ou encore: 3S=N - 10^(-1)(1-10^(-N))/(1-1/10) ===> S=N/3 - (1-10^(-N))/27
Donc S= (9N +10^(-N)-1)/27
A+

Solution postée
voici la solution de Herdubreid
Bonjour,
Idée de la preuve : les termes de cette somme sont le développement décimal tronqué de 1/3. Pour déterminer s_n ( la somme des n premiers termes ) il suffit de rajouter les décimales manquantes.
Ainsi s_n + 1/30 + 1/300 + ...... + 1/(3x10^n) = n x 1/3, et
s_n = 1/3 ( n - 1/10x \ frac{ 1 - 1/10^n }{ 1 - 1/10 } ) = 1/3 ( n - 1/9(1 - 1/10^n) ).

bonjour
solution postee

"si par hazard vous vous rendez compte que je m invente des theoremes ne vous pas "
voici la solution de gdsou
bonjour

0,3 + 0,33 + 0,333 + 0,3333....=3 ( 0,1 + 0,11 + 0,111 +0,1111...)
=3 (0,1+ 0,1+0,01 +0,1+0,01+0,001 +0,1+0,01+0,001+0,0001...)
=3( N.(0,1) + (N-1).0,01 + (N-2) 0,001 + (N-3).0,0001).....)
=3.(N.10^-1 + (N-1).10^-2 + (N-2)^-3 + (N-3)^-4.......)

*N le nombre des termes*..

bon je ne sais pas vraimant si j ai reussi a trouver la sulution mais bon

bonjour,
desolé ,j'arrive pas à comprendre la question :

qu'est ce que vous voulez dire avec

Citation :

la somme des N premier nombre

?

merçi d'avance

toetoe a écrit:

bonjour,
desolé ,j'arrive pas à comprendre la question :

qu'est ce que vous voulez dire avec

Citation :

la somme des N premier nombre

?

merçi d'avance

par exemple
si
S=2+22+222+.......
la somme des deux premiers termes 2+22=24
la somme des trois premiers termes 2+22+222=246

merçi pour l'explication Samir,donc si j'ai bien compris on doit exprimer la

Somme via N.

je vais essayer de resoudre l'exercice .

oui
et bonne chance

Solution postée.
voici la solution de elhor

Si je ne me trompe il s'agit de la somme:
S=1/3((10^1-1)/10^1+(10^2-1)/10^2+(10^3-1)/10^3+...+(10^N-1)/10^N)
qui est aussi:
S=1/3(1+(1/10)^1+1+(1/10)^2+1+(1/10)^3+...+1+(1/10)^N)
et aprés simplification:
S=(9N-1+1/10^N)/27

Solution postée.
voici la solution de Kendor

Ne sachant pas utiliser Latex,je vais essayer de m'en passer.
Terme général:un est la somme des n premiers termes de 3/10^i.C'est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison 0.1.
Il vaut un=(1/3)(1-0.1^n)
On cherche la somme des N premiers ui.
UN=somme(k allant de 1 à N) de (1/3)(1-0.1^k)
Donc UN=N/3-(1/3)(0.1+....+0.1^n)
Donc UN=N/3-(1/27)(1-0.1^N).

solution postée
voici la solution deyalcin
on a: k ième terme s'écrit sous la forme :
f(k)=(3*((10^k-1)/9))/(10^k)
donc S_N = sum(f(k),k=1..N) , or f(k)=(1/3)(1-(1/10)^k) , donc S_N=(1/3)*sum(1-(1/10)^k,k=1..N)
donc S_N =(1/3)*(N-(((1/10)^(N+1))-1/10)/(1/10-1))
la simplification donne : S_N=(10/27)((9/10)N+(1/10)^(N+1)-1/10)

solution postée "sans conviction"
voici la solution de pivot de gauss
Je définis pour k entier naturel:
0,k3 = 0,3 si k=0
= 0,03 si k=1
= 0,003 si k=2 et ainsi de suite
on a :

S = sum_{k=0}{N-1} (N-k)* (0,k3)

bonjour
solution postée
voici la solution de mt2sr
la somme vaut N/3+1/27(1/10^N-1)
@+

Bonsoir

solution posté

voici la solution de ZeFilouX

salut,

Tout d'abord ,je tiens a feliciter les champions.

je voudrais que quelqu'un m'aide a comprendre la solution de Abdelbaki

attioui ,surtout ces 2 lignes suivantes :

Citation :

x_n=3.10^(-n) (1+10+10²+...+10^(n-1))=3.10^(-n)(10^n -1)/9=(1-10^(-n))/3

et celle la :

Citation :

ou encore: 3S=N - 10^(-1)(1-10^(-N))/(1-1/10)

merçi d'avance

Salam,
Si j'ai moi-même bien compris, la première ligne est la fameuse:
((a^n)-1)=(a-1)(a^(n-1)+...+a²+a+1) avant une simplification genre : (a+1)/a=1+1/a (notez bien entendu que a^(-n)=1/a^n)
Pour la deuxième ligne... Eh ben tiens donc, la solution d'Attioui ne figure pas dans la revue du sujet !