f , injective et continue = monotone

Soit f une fonction de R dans R

montrer que si f est injective et continue alors elle est monotone

f injective et continue => f une bijection
=> f monotone

Soit A={(x,y)/ x>y} et g(x,y)=f(x)-f(y)
g est continue de IR² --> IR , A est convexe et f injective
==> g(A) intervalle de IR*
==> g(A) C]0,+00[ ou g(A) C]-00,0[
==> f monotone

ya til une autre methode plus simple

Oui il y en a plusieurs!

je propose ette methode

On suppose que f est non monotone cad

il existe a b c d de R tq ( a >b f(a)<=f(b) ) et ( d>c f(d)>=f(c) )

considerons l'application g definie de [0,1] dans R par

g(x)=f((1-x)a+dx)-f((1-x)b+cx)

g(0)=f(a)-f(b)<=0

g(1)=f(d)-f(c)>=0

g(1)g(0)<=0

le cas ou g(1) ou g(0) sont nuls est pareil a la suite donc on traitera le cas ou g(1)g(0)<0

d'apres TVI g s'annule donc il existe t £ [0,1] tq

g(t)=0

soit : f((1-t)a+dt)=f((1-t)b+ct)

et par injectivite de f

(1-t)a+dt=(1-t)b+ct

absurde car a>b et d>c

d'ou f est monotone

sauf erreur biensur

pas d'interventions?

Mahdi a écrit:

je propose ette methode

On suppose que f est non monotone cad

il existe a b c d de R tq ( a >b f(a)<=f(b) ) et ( d>c f(d)>=f(c) )

considerons l'application g definie de [0,1] dans R par

g(x)=f((1-x)a+dx)-f((1-x)b+cx)

g(0)=f(a)-f(b)<=0

g(1)=f(d)-f(c)>=0

g(1)g(0)<=0

le cas ou g(1) ou g(0) sont nuls est pareil a la suite donc on traitera le cas ou g(1)g(0)<0

d'apres TVI g s'annule donc il existe t £ [0,1] tq

g(t)=0

soit : f((1-t)a+dt)=f((1-t)b+ct)

et par injectivite de f

(1-t)a+dt=(1-t)b+ct

absurde car a>b et d>c

d'ou f est monotone

sauf erreur biensur

C'est bien, il faut juste remarquer qu'on ne peut pas avoir
g(1)= 0 ou g(0)=0 car f injective ==> f(b)>f(a) et f(d)>f(c)

abdelbaki.attioui a écrit:

Mahdi a écrit:

je propose ette methode

On suppose que f est non monotone cad

il existe a b c d de R tq ( a >b f(a)<=f(b) ) et ( d>c f(d)>=f(c) )

considerons l'application g definie de [0,1] dans R par

g(x)=f((1-x)a+dx)-f((1-x)b+cx)

g(0)=f(a)-f(b)<=0

g(1)=f(d)-f(c)>=0

g(1)g(0)<=0

le cas ou g(1) ou g(0) sont nuls est pareil a la suite donc on traitera le cas ou g(1)g(0)<0

d'apres TVI g s'annule donc il existe t £ [0,1] tq

g(t)=0

soit : f((1-t)a+dt)=f((1-t)b+ct)

et par injectivite de f

(1-t)a+dt=(1-t)b+ct

absurde car a>b et d>c

d'ou f est monotone

sauf erreur biensur

C'est bien, il faut juste remarquer qu'on ne peut pas avoir
g(1)= 0 ou g(0)=0 car f injective ==> f(b)>f(a) et f(d)>f(c)

ah oui merci