olympiade de mathematiques (1999/2000)

Salam!
Merci the kiler pour le partage!
Quelle est la question qui te parait la plus difficile?

Merçi 'the killer' pour votre partage.

Il y avait une error lors du deuxiéme epreuve, L'EX 2. C'est plutot n un nombre impair. CONTRE EXEMPLE: n=2 ne réalise pas l'énoncé.

Pour L'épreuve 3, EX 3 ça me fait rappele de l'EX 4 du dérniére phase de notre délgation Kénitra.

Pour l'EX 1 du deuxiéme Epreuve: Ca me fait rapelle à un EX de la collection d'exercises de geométrie, qui a posté Mr 'houssa' dans le forum de TC, c'est la méme chose.

Pour l'instant j'ai fais 3/4 de l'épreuve 1. 4/4 de l'épreuve 2. Je vous partage mes solutions peut-étre dans le plus prochain délai.

Merçi.

M.Marjani a écrit:

Il y avait une error lors du deuxiéme epreuve, L'EX 2. C'est plutot n un nombre impair. CONTRE EXEMPLE: n=2 ne réalise pas l'énoncé.

Une fois pour toutes : on dit erreur.
Maintenant, n=2 n'est pas un contre-exemple. La proposition est vraie pour tout entier naturel.

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Il y avait une error lors du deuxiéme epreuve, L'EX 2. C'est plutot n un nombre impair. CONTRE EXEMPLE: n=2 ne réalise pas l'énoncé.

Une fois pour toutes : on dit erreur.
Maintenant, n=2 n'est pas un contre-exemple. La proposition est vraie pour tout entier naturel.

Peut-étre, l'écriture n'est pas clair: tout d'abord est ce qu'il sagit de n/3 +n²/2 +n²/6 ou bien n/3 + n²/2 +n^3/6 ?

Pour moi j'ai travaillé n/3 +n²/2 +n²/6.

achraf_djy a écrit:

Salam!
Merci the kiler pour le partage!
Quelle est la question qui te parait la plus difficile?

Le dernier exercice des pôlynomes qui me paraît difficile, et j'aime bien savoir la réponse.
Personellement, j'ai réussi à résoudre 9 exercices parmi 30.
Je présente mes réponses plus tard.

Salam tt le monde!
Pour cet exo c'est n/3 + n²/2 +(n^3)/6
et il faut montrer que ce nombre est un entier.
je propose une petite correction considérant cet exo:
On a:
n/3 + n²/2 +(n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6
On pose A=n(n+1)(n+2)
qq soit n dans IN: n=3k ou bien n=3k+1 ou bien n=3k+2 avec k appartient à IN
Si n=3k ===> A est divisible par 3
Si n=3k+1 ===> n+2=3(k+1) donc A est divisible par 3
Si n=3k+2 ====> n+1=3(k+1) donc A est divisible par 3

Ainsi, qq soit n dans IN: n=2k ou bien n=2k+1 avec k appartient à IN
Si n=2k ===> A est divisible par 2
Si n=2k+1 ===> n+1=2(k+1) donc A est divisible par 2
Donc on tt cas A est divisible par 2 et 3, donc A est divisible par 6, d'ou qq soit n dans IN A/6 est un entier, CQFD.
Pour nmo je pense que on peut le montrer avec recurrence, je vais réfléchir.
Cordialement Med Achraf.

nmo a écrit:

Le dernier exercice des pôlynomes qui me paraît difficile, et j'aime bien savoir la réponse.

Pas tant que ça, pas tant que ça... Il est bien clair qu'il faut utiliser la formule du binôme de Newton.
Épreuve 6, problème 4 :
Soient E l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à n et de même parité que n, et F l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à n et de parité différente de n.
P_n est est un polynôme si et seulement si le numérateur est un polynôme (car le dénominateur n'est pas fonction de l'indéterminée).

Composée de deux polynômes, donc polynôme.

achraf_djy a écrit:

Salam tt le monde!
Pour cet exo c'est n/3 + n²/2 +(n^3)/6
et il faut montrer que ce nombre est un entier.
je propose une petite correction considérant cet exo:
On a:
n/3 + n²/2 +(n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6
On pose A=n(n+1)(n+2)
qq soit n dans IN: n=3k ou bien n=3k+1 ou bien n=3k+2 avec k appartient à IN
Si n=3k ===> A est divisible par 3
Si n=3k+1 ===> n+2=3(k+1) donc A est divisible par 3
Si n=3k+2 ====> n+1=3(k+1) donc A est divisible par 3

Ainsi, qq soit n dans IN: n=2k ou bien n=2k+1 avec k appartient à IN
Si n=2k ===> A est divisible par 2
Si n=2k+1 ===> n+1=2(k+1) donc A est divisible par 2
Donc on tt cas A est divisible par 2 et 3, donc A est divisible par 6, d'ou qq soit n dans IN A/6 est un entier, CQFD.
Pour nmo je pense que on peut le montrer avec recurrence, je vais réfléchir.
Cordialement Med Achraf.

Salut! Je pense que tu n'avais pas besoin de tout ça.
Tu peux démontrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 6 comme suit :
On sait que le produit de 2 nombres consécutifs est pair.
Donc n(n+1) est un nombre pair, et par conséquent n(n+1)(n+2) l'est aussi.
On sait que le produit de 3 nombres consécutifs est divisible par 3, car l'un des nombres est forcément divisible par 3.
Et puisque A est divisible par 2 et 3, il est donc divisible par 6.
Donc A/6 est un entier.

Oui Sakura mais c'est bien de donner une demonstration

Oué! Je suis d'accord avec toi

Épreuve 5, problème 2 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF. Pour x=y, il vient xf(x)[f(x)-1]=0. Par conséquent, pour tout réel x non nul, f(x)=0 ou f(x)=1. Supposons qu'il existe un réel non nul c tel que f(c)=1. Pour y=c, il vient alors que x[f(x)-1]=0, i.e, f(x)=1 pour tout réel non nul. Dans le cas contraire f(x)=0 pour tout réel non nul.
Par conséquent, f appartient à l'ensemble des fonctions et où k varie sur IR.
Inversement maintenant :
vérifie clairement l'EF pour tous x et y (nuls ou non nuls) car tout s'annule.
vérifie clairement l'EF pour x et y non nuls. Pour x non nul et y nul, cela équivaut à xk[f(x)-1]=0, ce qui est vrai car f(x)=1 (car x est non nul). Pour x et y nuls, c'est vrai car tout s'annule.

Épreuve 1, problème 2 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF. Pour x=y=0, il vient f(0)=0. Pour y=0, il vient f(x²)=f(x). Par récurrence, on prouve f(x^2^n)=f(x). Pour y=-x², il vient f(0)=f(x)+f(x^4), i.e., 2f(x)=0, f(x)=0.
Inversement, la fonction nulle vérifie clairement l'EF.

Épreuve 2, problème 4 :
L'inégalité est équivalente à (a+b)(a²+b²-ab+1)>=ab. Selon l'IAG, on a a+b>=2sqrt(ab) et a²+b²-ab+1>=ab+1>=2sqrt(ab).
Par produit, on déduit l'inégalité escompté.

achraf_djy a écrit:

Salam tt le monde!
Pour cet exo c'est n/3 + n²/2 +(n^3)/6
et il faut montrer que ce nombre est un entier.
je propose une petite correction considérant cet exo:
On a:
n/3 + n²/2 +(n^3)/6 = n(n+1)(n+2)/6
On pose A=n(n+1)(n+2)
qq soit n dans IN: n=3k ou bien n=3k+1 ou bien n=3k+2 avec k appartient à IN
Si n=3k ===> A est divisible par 3
Si n=3k+1 ===> n+2=3(k+1) donc A est divisible par 3
Si n=3k+2 ====> n+1=3(k+1) donc A est divisible par 3

Ainsi, qq soit n dans IN: n=2k ou bien n=2k+1 avec k appartient à IN
Si n=2k ===> A est divisible par 2
Si n=2k+1 ===> n+1=2(k+1) donc A est divisible par 2
Donc on tt cas A est divisible par 2 et 3, donc A est divisible par 6, d'ou qq soit n dans IN A/6 est un entier, CQFD.
Pour nmo je pense que on peut le montrer avec recurrence, je vais réfléchir.
Cordialement Med Achraf.

Bonsoir Achraf,

Hmmm.. donc j'ai inventé un EX xDD [Si n est un entier naturel impair, donc montrez que n/3+n²(1/2+1/6) £ IN ]

Bon, pour la Solution de l'exercise2 Epreuve2:

D'abord on a: n/3 + n²/2 +n^3/6=n(n²+3n+2)/6=n(n+1)(n+2)/6

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6. D'ou n/3 + n²/2 +n^3/6 £ IN.

M.Marjani a écrit:

Hmmm.. donc j'ai inventé un EX xDD [Si n est un entier naturel impair, donc montrez que n/3+n²(1/2+1/6) £ IN ]

Inventer, c'est vite dit. "votre ex" est faux : prenez n=5.

Épreuve 1, problème 1 :
On lève la première égalité au carré, on obtient : x-x² + y-y² + 2sqrt((xy)²+xy-x^3-y^3) = 1.
L'expression qui est dans la racine est exactement celle qui figure dans la deuxième égalité : on la remplace donc par sa valeur. Cela implique que x-x²+y-y²+1/2 = 1, ou encore que (x-1/2)² + (y-1/2)²=0, ce qui veut dire que x=y=1/2.
Mais inversement, le couple (1/2 , 1/2) ne vérifie le système.
Conclusion : l'ensemble des solutions du système est l'ensemble vide.

Dijkschneier a écrit:

Épreuve 1, problème 1 :
On lève la première égalité au carré, on obtient : x-x² + y-y² + 2sqrt((xy)²+xy-x^3-y^3) = 1.
L'expression qui est dans la racine est exactement celle qui figure dans la deuxième égalité : on la remplace donc par sa valeur. Cela implique que x-x²+y-y²+1/2 = 1, ou encore que (x-1/2)² + (y-1/2)²=0, ce qui veut dire que x=y=1/2.
Inversement, le couple (1/2 , 1/2) vérifie le système.

Tout est faux. Desolé.

je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord

Salam!
épreuve 1, question3:
On a:
0<a1+a2<=a3 et 0<a4+a5<=a6
Donc:
(a1+a2)(a4+a5)<=a3a6
Aussi (sqrt(a1a5)-sqrt(a2a4))²>=0 ===> a1a5+a2a4>=2sqrt(a1a4a2a5)
Donc:
a1a4+a2a5+2sqrt(a1a4a2a5)<=a3a6
d'où:
(sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5))²<=a3a6
==>sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5)<=sqrt(a3a6)
CQFD.

M.Marjani a écrit:

Tout est faux. Desolé.

Furieux ?
Je ne pense pas que "tout soit faux". Le dernier passage seulement était effectivement faux. Merci pour ta vigilance. C'est corrigé.

tarask a écrit:

je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord

Je doute fort que ce soit utile.

tarask a écrit:

je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord

C'est bien parler Tarask

Ma Solution: Exercise 1 Epreuve 1:

Tout d'abord il faut remarquer que le domaine de définition est atteint pour: y>=x² et x>=y².

* Et revanant à notre systéme, et élavant la premiére equation au carré : y+x²+x+y²+2V(xy-y^3-x^3+x²y²)=1, donc 2V(xy-y^3-x^3+(xy)²)=1-(y+x²+x+y²). (1)
* Tout d'abord il faut remarquer par Df que V(y-x²)(x-y²)=V(x²y²-x^3-y^3+xy)>=0 et revenant à la deuxiéme equation du systéme, V(x²y²-x^3-y^3+xy)=1/4 (2)
* En remplaçant dans (2) dans (1), donc 1-(y+x²+x+y²)=1 qui implique y+x²+x+y²=0 , or y>=x²>=0 et x>=y²>=0 donc la solution de cette equation est eteinte pour x=y=x²=y²=0.
* En remarque que cette solution ne réalise pas le systéme, donc S={Ensemble vide}

EDIT: Il s'agit de l'épreuve 4
EDIT: C'est l'épreuve 1 plutot, pardon..

achraf_djy a écrit:

Salam!
épreuve 1, question3:
On a:
0<a1+a2<=a3 et 0<a4+a5<=a6
Donc:
(a1+a2)(a4+a5)<=a3a6
Aussi (sqrt(a1a5)-sqrt(a2a4))²>=0 ===> a1a5+a2a4>=2sqrt(a1a4a2a5)
Donc:
a1a4+a2a5+2sqrt(a1a4a2a5)<=a3a6
d'où:
(sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5))²<=a3a6
==>sqrt(a1a4)+sqrt(a2a5)<=sqrt(a3a6)
CQFD.

Épreuve 1, problème 3 :
Bien. Réductible néanmoins en une seule ligne avec CS :
sqrt(a1a4) + sqrt(a2a5) <= sqrt((a1 + a2)(a4 + a5)) <= sqrt(a3a6)

Ma Solution: Exercise 2 Epreuve 1:

On veut détérminer toutes les fonctions de IR --> IR tel que f(x²+y)=f(x)+f(y²) ==> (A)

* D'abord on fixe x sur 0, donc f(y)=f(y²) ==> (1). Et posant x=y dans l'equation fonctionnel donc f(x²+x)=2f(x)=2f(x²) ==> (2).
* Par (A) on a f(x+x)=f(x²)+f(x)=2f(x) ==> (3) doc 2f(x²+y)=f(2(x²+y))=f(x)+f(y²)=f(V2x)+f(4y²) ==> (B)
* Dans (B), fixant x sur 0, donc f(y²)=f(4y²), et par (3) on aura f(y²)=4f(y²) qui implique que f(y²)=f(y)=0

@Dijksheiner: CS pour cette petite inégalité, c'est pire.

Ma Solution: Exercise 3 Epreuve 1:

* D'abord on a: a_1+a_2 =< a_3 et a_4+a_5 =< a_6, donc V(a3*a6)>=V((a1+a2)(a4+a5)=V(a1*a4+a1*a5+a2*a4+a2*a5)=A
* Donc il suffit de montrer que A>=V(a_1*a_4)+V(a_2*a_5):
On élivant au carré: (a_1*a_4+a_2*a_5)+(a_1*a_5+a_2*a_4)>= a_1*a_4+a_2*a_5+2V(a_1*a_2+a_4*a_5), en éliminant ce qui se répéte dans les deux cotés on aura: (a_1*a_5+a_2*a_4)>= 2V(a_1*a_2+a_4*a_5) Ce qui est juste par IAG.