problème N°51de la semaine (16/10/2006-22/10/2006)

salut
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Merci

Bonjour Samir,

Malgré tout le respect que j'ai pour toi et les problèmes que tu poses en général, je pense qu'il est malhonnête de reconduire ce problème.

En effet, à part la question élémentaire sur l'injectivité :

- on peut construire des solutions f qui prennent n'importe quelle valeur < -1 pour f(-1)
- il existe des infinités de solutions
- tu ne possèdes pas de solution générale

Donc, il est impossible de répondre à la question 2
Et il me "paraît" impossible de répondre à la question 3
Ce problème est éventuellement un thème de recherche - intéressant j'en conviens - mais pas un problème de la semaine.

Tu as dû te rendre compte lors de la semaine précédente que beaucoup d'utilisateurs croient qu'il y a une ou deux solutions à trouver et donc, en prolongeant le problème, tu induis tout le monde en erreur.

J'espère ne pas te choquer en publiant ce message.
Cordialement.

--
Patrick

Bonjour Samir,

Je suis d'accord avec pco. La valeur de f(-1) n'est pas unique et demander de la déterminer n'a donc pas vraiment de sens. De plus, déterminer toutes les fonctions qui vérifient cette équation fonctionnelle me parait pratiquement irrésoluble... Donc si tu n'as pas de solutions, Samir, tu devrais plutôt mettre un autre problème de la semaine et déplacer ce problème-ci dans une rubrique de problèmes ouverts...

J'en profite pour te féliciter des problèmes que tu mets chaque semaine, Samir.

Bonne journée.

Le problème de cette semaine c'est de trouver l'hypothése qui manquait?
Et d'en trouver une solution. Par exemple / Chercher les f continues telles que ....

Je n'ai pas compris l'interet de calcul de f(-1) pour calculer f(x). Je pense qu'il s'agit de la fonction réciproque de f restreinte à f(IR) ! ( f^(-1))

Je crois qu'il n'y a pas de mal si Samir a prolongé la durée de ce problème
pour une petite semaine.

Je suis d'accord avec Samir de proposer un problème sans connaître la solution.

Salut abdelbaki.attioui

abdelbaki.attioui a écrit:

Je n'ai pas compris l'interet de calcul de f(-1) pour calculer f(x). Je pense qu'il s'agit de la fonction réciproque de f restreinte à f(IR) ! ( f^(-1))

Ah oui, peut-être. Mais f^[-1] n'est pas plus déterminable que f

abdelbaki.attioui a écrit:

Je suis d'accord avec Samir de proposer un problème sans connaître la solution.

Oui, bien sûr.
Mais dans ce cas, il faut le dire dans l'énoncé : "solution non connue par l'auteur de la soumission".

Par ailleurs, je crois que "éphemere" à raison : il faudrait peut-être mettre les problèmes ouverts dans une rubrique ad hoc (voire déjà existante) et ne mettre en problèmes de la semaine que des problèmes dont la solution est connue, afin de permettre à ceux qui s'y essaient d'avoir quoi qu'il arrive une solution de référence en récompense de leurs efforts.


Enfin, je m'associe bien sûr aux félicitations adressées à Samir pour l'ensemble de son travail sur ces forums (la critique est aisée mais l'art est difficile).

-- patrick

merci à vous tous pour le critique !!! et l'encouragement !!!

Bonsoir ,
bon me revoilà parmis vous après 4 semaine d'absence , o fait vous savez
il faut toujours un sertain temps pour regler tout les probs de la rentrée
En ce qui conserne le problème de cette semaine je ne vois toujours pas
ou est l'erreur dans ce que samir a donné :
perso voilà la sollution que je proposes :

on a : (f0f0f0f) (x) = (f0f0f)(x) + 2x
on pose : g(x) = (f0f0f) (x)
alors l'égalité devient : (f0f0f0f)(x) = g(x)
donc : (deg f)^4 = deg g
soit n le degré de f : deg f = n
on a alors : n >= 1 et n^4 = n^3
alors : n = 1
alors : deg f = 1
donc : il existe un réél a tel que pour tout x réél : f(x) = ax
on a : (f0f0f0f) (x) = (f0f0f)(x) + 2x ( pour tout x réél )
donc : a^4 * x = a^3 * x + 2x ( pour tout x réél )
alors : x (a^4 - a^3 - 2) = 0 ( pour tout x réél )
alors : (E) : a^4 - a^3 - 2 = 0
on a selon la representation graphiaque de la fonction f(x) = x^4-x^3-2 cette fonction
s'annule dans lorsque x a les valeurs -1 et 1.54... que je vais appeller a .
alors les fonctions qui réalisent (f0f0f0f) (x) = (f0f0f)(x) + 2x sont :
la fonction f :
f : IR --> IR
x l--> -x

et la fonction h :
f : IR --> IR
x l--> ax ( a= 1.5437 )

bon , en général l'idée de faire ce forum , proposer des exos c'est déjà une très très très bonne idée ! et merci samir pour tes efforts si tout le monde fait comme toi , ce pays sera
vraiment top !!!
pour le nombre a j'ai le ventre plein et la tete qui tourne lol je resouds
après , sinon vous pouvez le faire à ma place
bonne continuation

Oumzil, l'erreur dans la solution que tu proposes est de supposer sans preuve que la fonction est un polynôme.

Tu commets une seconde erreur en supposant sans preuve que ce polynôme n'a pas de terme indépendant.

Mais tu as effectivement démontré que si c'est un polynôme, alors il est de degré au plus 1.

salam alikom awachrkom mabroka.
1- si fog est injective alors gest injective.
si fog est surjective alors f est surjective alors f bijective ,plus précisément :
on a : f^4-f^3= 2Id alors fo(f^3 -f^2)=(f^3- f^2)of= 2 Id
alors f est unebijection de IR sur f(IR) , de bijectio réciproque:
2- f^(-1)=1/2* (f^3 - f^2).
3- f= ? wa khol rabi zidni ailmaa.
aissalh

Bonsoir aissa
f^4-f^3 n'est pas égal à fo(f^3-f^2) ! ( f n'est pas forcement linéaire) Mais f^4-f^3=(f^3-f^2)of=2I ==> f injective.
Donc bijective de IR sur f(IR).

Je te propose de faire cet exercice en supposant que f continue.
Bon courage. Tu as jusqu'au dimanche à minuit . Je posterai la solution aprés.

Bonjour,
f est injectif car si f(x)=f(y) ==> fofofof(x)=fofofof(y) et fofof(x)=fofof(y) ==> x=y
On a fofofof(0)=fofof(0) ==> f(0)=0

Soit x non nul, considérons la suite définie par : x_0=x et x_(n+1)=f(x_n).

Alors : x_(n+4)=x_(n+3)+2x_n

l'équation caractéristique est : X^4-X^3-2=(X+1)(X^3 -2X^2 +2X -2)=0
Mais X^3 -2X² +2X -2=(X-a)(X²+(a-2)X+2/a), la racine réelle a est dans ]3/2,8/5[.
Et X²+(a-2)X+2/a=0 admet 2 racines complexes conjuguées :
r*exp(it) et r*exp(-it) avec r²=2/a.
Donc x_n= A(x)(-1)^n+B(x)a^n + r^n(C(x) cos(nt)+D(x) sin(nt))

On suppose f continue. Alors f est strictement monotone puis la suite (x_n) l'est aussi.
Donc C(x)=D(x)=0.
On a alors :
A(x)+B(x)= x et -A(x)+aB(x)=f(x) <==> B(x)=(f(x)+x)/(a+1) et A(x)=(ax-f(x))/(a+1)

Si f est croissante, alors pour x>0, f^4(x)>f^3(x) ==> f(x)>x.
Donc lim (x--> +00) f(x)=+00. De même, lim(x --> -00)f(x)=-00.
Si f est décroissante, alors lim (x--> +00) f(x)=-00. De même, lim(x --> -00)f(x)=+00.

Donc f réalise une bijection continue de IR sur IR.
Il est clair alors que A(x)=0 ou B(x)=0. ie f(x)=-x ou f(x)=ax.

Si on ne suppose pas f continue le nombre de solutions est indéterminé.
A+