problème N°90 de la semaine (16/07/2007-22/07/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonsoir à Toutes et Tous !!
Bonsoir Mr SAMIR !!
Solution au Pb 90 postée ce soir 16/07/2007.
A+ LHASSANE
PS: je vous ai envoyé une Solution rectifiée , veuillez donc ne pas tenir compte de ma 1ère proposition !!! Merci .

voici la solution de bourbaki

Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 90.
Celle-ci annulle ma première proposition . Je suis désolé , j’ai travaillé avec la primalité et la divisibilité dans IN au lieu de Z et de ce fait , j’ai loupé deux équations supplémentaires de droites répondant au Pb posé !!!!

Cette équation serait de la forme :
y=a.x+b avec a et b réels à trouver .
Les conditions imposées exigent donc :
1) b=p entier premier
2) –b/a=-p/a =k entier
3) 5=2.a+b=2.a+p
De la condition2 ) , on déduit que a divise p , or p est premier , donc deux situations à gérer :
(*) |a|=1 ou |a|=p
Si a=1 alors p=3
Si a= -1 alors p=7
Si a=p alors par 3) alors 5=3.p , ce qui est impossible car p est entier !!!
Si a= -p alors p= -5

Les équations cherchées sont en nombre de TROIS :
y= x+3
y= -x+7
y= 5(x-1)

Ce qui termine la solution.
A++. BOURBAKI

salut,
solution postée
voici la solution de selfersept
soit (D) une telle droite
on a :y-5=a(x-2) (passant par (2,5))
et :
*-5=a(x-2) ==> 2a-5=ax ==> (2a-5)/a est un entier (a#0)
*y-5=-2a ==>5-2a est premier
2-5/a est un entier ==/ a£{1.-1.5.-5}
5-2a premier ==/ a£{1,5,-1,}
reciproquement ces valeurs verifient lenoncé d'ou les droites cherchées sont, y=x+3 , y=5x-5 ,y=-x+7
merci

solution postéé , et cette fois je ne vé pas oublier de l'envoyer

voici la solution de NEUTRINO
on nous demande de trouver l'équatiion d'une ou plsrs droites passant par (2.5) et dont l'intersection avec OX est entier et avec OY est un nombre premier

donc (n;0) et (0;p) appartiennent à notre droite ( n est entier et p est premier )

soit y=ax+b l'équation de cette droite pr trouver a on aplike cette propriété

a= [ f(x)-f(y)]/[x-y]
a= [ f(n)-f(0)]/[n]
a= -p/n
et on c que (2;5) appartient à la droite
donc y= -px/n +b
et ona (0;p) £ à la droite
donc p=0+b ==> b=p ==> y= -px/n+p
mé ona ossi (2;5) £ la droite donc
5= -2p/n + p
p£Z et 5£Z donc -2p/n £Z
les valeurs possible de n puisque pr que -2p/n £ Z ( sans oublier que p est premier ) sont { p,2,1}, pr 2 c impossible car p-p#5,et pr 1 impossibe ossi car p est positif donc la seule valeur de n est p alors
5= p-2 ==> p=7 et -p/n= -1
et comme p=b et -p/n=a
donc y=-x+7 est l'équatioon de la droite recherché
j'espère ke c juste ( sauf erreur de ma part)
A++
--------------

slt tt le monde
je voudrais savoir svp si un nombre premier veut dire nessecerement qu'il est positif

non,il peut étre negatif

Bonjour,

Solution postée.
voici la solution d'inphofile

merci radouane

SOlution postée
voici la solution de pelikano
On raisonne par analyse-synthèse :

ANALYSE :
Supposons qu’il existe deux réels a et b tel que la droite d’équation y=a*x+b vérifient les conditions de notre problème.
Remarquons tout de suite que a et b sont tout deux non nuls sinon il ne peut y avoir d’intersection avec l’axe des abscisses et des ordonnées.
On traduit tout d’abord les trois hypothèses :

La droite passe par le point (2,5) ce qui donne la relation : 5=2*a+b

« L’intersection avec l’axe des ordonnées (x=0) est un entier premier » donne y=b : le nombre b doit être nécessairement un entier premier.

« L’intersection avec l’axe des abscisses (y=0) est un entier » donne x=-b/a : le rapport -b/a doit être entier.

Comme b est premier ses seuls diviseurs sont +1,-1,+b,-b.
Comme le rapport –b/a doit être entier, on obtient seulement ces quatre valeurs pour a.

Avec la première relation on obtient :
a=1 => b=3 ok c’est un nombre premier
a=-1 => b=7 ok c’est un nombre premier
a=b => b =5/3 b étant entier, cette solution est exclu
a=-b => b=-5 ok c’est un nombre premier

SYNTHESE :
Les droites d’équation :
y=x+3
y=-x+7
y=5x-5
passent toutes par le point (2,5), ont toutes une intersection avec l’axe des abscisses entière et première avec celle des ordonnées.

Conclusion : Seulement trois droites vérifient les conditions du problème :
y=x+3
y=-x+7
y=5x-5

QED

solution postée
voici la solution de rim hariss:
salut!

on pose (D): ax+by+c=0 est l'equation qu'on cherche tel que a , b et c sont des nobres réels.
la droite passe par le point (2;5) donc:
2a+5b+c=0 (1)
soit l'intercection de (D) et de (OX) l'entier m et l'intercection de (D) et de (OY) le nombre premier p.
donc A(m,0) et B (0;p) £ (D)
donc am+c=0 et bp+c=0
si a =0, la droite ne coupera pas (OX)
si b=0 la droite ne coupera pas (OY)
donc a et b sont différents de 0, donc:
m= -c/a et p= -c/b
et d'après (1) on a -c=2a+5b
donc m=(2a+5b)/a=2+5a/b et p=(2a+5b)/b=5+2b/a
puisque m est entier et p est un nombre premier donc m et p £ Z*²
donc 5+2b/a £ Z et 2+5a/b £ Z
donc 2b/a £ Z et 5a/b £ Z
donc soit a//2 ou a // b et b//5 ou b //a. (// veut dire diviseur de )
donc soit:
a//2 et b//5 ou a//2 et b//a ou a//b et b//5 ou a//b et b//a
<=> a=1 ou a=2 et b=5 ou b=1 ou a=2 ou a=1 et b=2 ou b=1 ou b=5 ou b=1 et a=1 ou a=5 ou a=b
après étudier tous ses cas on trouve a=b=k (k£ Z*),( car ils y a des cas où m et p n'appartiennent pas a Z et un cas où p n'est pas premier(a=1 et b=2 => p=6))
posons a=b=1 <=> (D): x+y-7=0 et p=7 et m=7
donc la droite (D): x+y-7=0 passe par le point (2;5) est coupe (OX) en A(7,0) et (OY) en B(0,7)

"solution postée"


voici la solution de matrix
on a( O,X,Y) un repére orthogonale
on prend [AB] , A E [oj) et B E [oi) , et AB=7V2 , et D(2,5) E [AB] .

le triongle AOB a un ongle droit : O ce qui veut dir que OA²+OB²=AB²
on sait que OA=OB (prske OJ=V2) alors OA=OB=7
ce qui veu dir que l'intérsection de (AB) avec (OX) et un entier(7), et que l'intérsection de (AB) avec (OY) et un premier (7) .
il ne reste que trouver l'équation de (AB):y=ax+b ,on a le systéme suivant :
0a+b=7
7a+b=0
ce qui donne l'équation:7a+7=0 alors (AB):y=-x+7
et si on veut vérifier : -2+7=5 ce qui veu dir ke D(2,5) E (AB).

SAUF EREUR

matrix

Salut tout le monde
Solution postée

voici la solution de mansouri

mr redwane : tu es raison car peut etre negatif comme je trouve

Bonjour!

Solution postée.
Ciao!
A+

voici la solution de Kendor
Si D est horizontale, alors y=5 et elle ne croise pas (Ox)
Si D est verticale, alors x=2 et elle ne croise pas (Oy)
Donc D a pour équation y=mx+p avec m<>0 et p premier.
D passe par A, donc : 5=2m+p
Si y=0, alors x0 est entier=-p/m (m est non nul)

5/m=2-x0
Donc x0=2-5/m est entier.
Donc 5/m est entier.
Or 5 est premier, donc m=1,-1,5 ou -5

m=1: x0=2-5=-3
p=-mx0=3
D1: y=x+3

m=-1: x0=2+5=7
p=x0=7
D-1: y=-x+7

m=5 : x0=2-1=1
p=-5x0=-5
D5 : y=5x-5

m=-5 : x0=2+1=3
p=5x0=15 (non premier).

On trouve donc trois droites :
1) y=x+3
2) y=-x+7
3) y=-5x-5

A+

Kendor

solution postéé
(solution non trouvée parmis mes mails) (administration )

Solution postée
voici la solution de conan
la droite (ou les droites) cherchée(s) passe par le point (2;5) et dont l'intersection avec l'axe (ox) est un entier "a" et celle avec l'axe (oy) est un nombre premier "b" :

donc son equation en general s'écrit comme ça : x/a + y/b = 1

tel que "a" est un entier et "b" un nobre premier.

Pour trouvé les solution de notre probleme , il suffit de resoudre l'equation suivante : 2/a + 5/b = 1 <=> 2b + 5a = ab

1.si b devise a , alors on aura : a = kb tel que k de Z :

alors : l'equation est equivalente a 2b + 5kb = kb² <=> 2 = k(b-5)

donc : (b-5) devise 2 , ça veus dire que :

b-5 = 2 ou b-5 = 1 ou b-5 = -1 ou b-5 = -2

<=> b=7 ou b=6 ou b=-4 ou b=3 et puisque b est un nombre premier

alors b=7 ou b=3 , donc les solutions qu'on a sont :

(a=7 et b=7) et (a=-3 et b=3 )

2.si a devise b donc : b = k'a ,et puisque b est premier donc :

a=1 ou a=-1 ou a=b ou a=-b

pour a=b ou a=-b on l'a deja etudié dans a=kb , et pour les autres il n'ya qu'une solution possble c'est celle de (a=1 et b=-5)

3.mnt supposant que a et b sont premiers entre eux :

donc : 2b + 5a = ab <=> 2b = a(b-5)

et d'aprés le Théoreme de Guass : b devise b-5
donc b devise -5

et on a b est premier , donc b=5 ou b=-5

pour b=-5 on a a=1

et pour b=5 pas de solution.


donc les seuls solutions possibles sont :

(a=1 et b=-5) ou (a=-3 et b=3) ou (a=7 et b=7)

d'ou les droites sont : y=5x-5 et y=x+3 et y=-x+7

Solution postée
voici la solution de Raa23

la droite est de la forme D:a*x+b*y+c=0
la resolution des 2 premiers criteres donne ( passe par (2,5) et coupe
(OX) en un entier )
D: 5*(x-n)+y*(n-2)=0

pour le dernier critere ( coupe (OY) en un nombre premier ) c'est un
plus compliqué
donc pour x=0 on a y=p

si n=2 la droite x=2 est bien solution
sinon on a
p=5n/(n-2)
la fonction f(x)=5x/(x-2) est croissante sur [0,2[ et décroissante (et
tend vers 5+ ) sur ]2,infiny[
f(0)=0 non premier
f(1)=-15 non premier
f(3)=15 non premier
f(4)=10 non premier
f(5)=25/3 non premier
f(6)=15/2 non premier
f(7)=7 PREMIER
f(=20/3 non premier
f(9)=45/7 non premier
f(10)=25/4 non premier
f(11)=55/9 non premier
f(12)=6 non premier
pour n>12 5<f(n)<6

donc les solutions sont
D1: x=2
D2: x+y-7=0


Raa23

Salut tout le monde ,Salut Samir

solution postee
voici la solution d'abdellatif
On peut écrire l équation d une droite sous la forme : (D) y=ax+b

On a le point (2,5)£(D) Donc :5=2a+b

L intersection de (D) avec (OX) est in entier donc : an+b=0/ n£Z

L intersection de (D) avec (OY) est un premier alors b est un premier

On a an+b=0 donc b=-an

Alors 5=2a-an=a(2-n)

b est un premier et b=-an donc a=1 ou n=1 ou a=-1 ou n=-1

Si a=1 on a 2-n=5 => b=3

Alors (D) : y=x+3

Si n=1 on a : b=-a alors 5=a

Donc : (D) : y=5x-5

Si a=-1 on a b=7

Donc (D) : y=-x+7

Si n=-1 on a a=b alors 5=3b impossible (on sais que b est un premier)

Donc les droits verifiants les indication sont : y=x+3 et y =5x-5 et y=-x+7

Merci et bon vacance a tous (abdellatif)

Salut !
Sollution postée.
Bonne journée @+
en ce qui concerne la solution de relena
je n'ai eu que ces lignes
Je viens de vous envoyer ma éponse pour le problème de semaine n°90 et je viens de me rendre compte que je n'avais pas tapé cette ligne :
m = -b/a et b = 5-2a d'où m = (-5+2a)/a
c'est juste après le système
@+ et bonne journée

administration

bonjour tt le monde
solution postee
voici la solution de wiles
Bonjour Mr Samir
solution de wiles
soit (d) la fonction qui realise les conditions du probleme.Cette droite est la representation graphique de la fonction affine f(x)=ax+b.
on a donc
f(0)=b b est premier
il existe n de Z / f(n)=0 ==> n=-b/a
f(2)=5 2a=5-b

* cas1: b=2k+1
2a=b-5 ==> a=2-k donc a appartent a Z
on a: b=-an et a et n de Z
alors il y a 4 cas:
**a=1 ==> b=3 donc (D):y=x+3
**a=-1 ==> b=7 donc (D):y=-x+7
**a=b ==> 3b=5 contradiction
**a=-b ==> b=-5 ==> a=5 don (D):y=5x-5
*cas2: b=2
a=3/2 (D):y=3/2x+2 mais y=0 ==> x=-4/3 qui n'est pas entier
*cas3: b=-2
a=7/2 (D):y=7/2x-2 mais y=0 ==> x=4/7 qui n'est pas entier
en somme trois equations sont possibles:
(D):y=x+3
(D):y=-x+7
(D):y=5x-5
et on peut bien s'aasurer qu'elles sont les seules.

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
soient n entier et p premier. Les points (n,0) , (2,5) et (0,p) sont alignés
<==> det((n-2,-5),(-2,p-5))=0 <==> (n-2)(p-5)=10 .
On a p-5 dans {-10,-5,-2,-1,1,2,5,10}
<==> p dans {-5,0,3,4,6,7,10,15} alors p=3 ou p=7
par suite (n,p)=(-3,3) ou (n,p)=(7,7)
c-à-d -x+y=3 ou x+y=7



A+