Problème de Juin 2008

Déterminer toutes les fonctions f:IR+ --> IR+ telles que
f(f(x))+f(x)=6x qqs x>0.

Salut,
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salut
solution postée .
A+
salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+

slt ,solution postée

soit (E) l'equation fonctionnelle
soit x un reel positif
soit la suite u_n definit par:
u_0=x,u_(n+1)=f(u_n)
(E)==>u_(n+2)+u_(n+1)-6u_n(pour x=u_n)
d'ou il existe 2 réel a et b tq:u_n=a(-3)^n+b2^n
-on suppose que a different de 0
il existe m tq A=(-3)^m+2^m <0
pour b=a-aA
on a d'une part: u_n=0 et d'autre part:u_n=aA(1-2^n)
pour n=1 on a :u_n=-aA different de 0 (absurde)
ainsi a=0 d'ou
u_n=b2^n
pour n=0=>u_0=x=b
pour n=1=>u_1=f(x)=2x
reciproquement x=>2x de R+ vers R+ verfie

solution postée




slt !!

f(f(x))+f(x)=6x

on definie la suite des iteres de f par U_0=x , U_1=f(x) , U_2=f(f(x)) .....

et U_(n+1)=f(U_n)

donc U(n+2)+U(n+1)-6U_n=0

l equation X²+X-6=0 admet deux sollutions 2 et -3
donc il existe a et b de R+* tell que :

U_n=a2^n+b(-1)^n.3^n

si b est non nul donc 2^n =< |(-1)^n.(3)^n|

donc pour un n --> infinie on pourrait avoir U_n < 0
ce qui est contradictoire puisque f: R+ ---> R+
donc b=0

donc U_n=a.2^n

n=0 <==> U_0=x=a
n=1 <==> U_1=f(x)=2a

donc f(x)=2x est la seul sollution .
reciproquement f x:-->2x satisfait les conditions de l equation fonctionelle

salut;solution postée



La seule solution est f(x)=2x
Soit x un réel.

Soit a (0) = x, et considérons la suite a(n) définie par f^(n)(x)=a(n). la suite a(n) vérifie donc la relation récurrente a((n+2) + a(n+1) - 6a(n) = 0.l’équation caractéristique nous fournit de deux racines réels -3 et 2,ainsi on peut écrire la forme général de a(n) en tenant compte des conditions initiales par a(n) = (2 ^n) (3x+f(x))/5 + ((-3)^ n)(2x-f(x))/5.
Or la fonction f est positive, or vue l’expression de a(n),pour un nombre impaire suffisamment grand a(n) serait négative,donc pour que a(n) soit positive il faut que 2x-f(x)=0 d’où f(x)=2x,réciproquement f(x)=2x vérifie l’équation

Bonjour a tous

solution postée

Solution non trouvée

bonjour,

solution postée

a+
bonjour:

f(f(x))+f(x)=6x
suposons f(x)=ax donc f(f(x))=(a^2)x
alors f(f(x))+f(x)=6x est équivalent à ax+(a^2)x=6x
a^2+a-6=0
delta=25 ce qui donne a=2ou a=-3
on déduit que f(x)=2x ou f(x)=-3x.
merci

ilham_maths.

Bonjour a tous
Solution Postée
A++++

Bonjour Mr attioui,je suis Yassine Mansouri et voila ma solution du problème du mois de juin:

f: lR+ -------> lR+
f(f(x))+f(x)=6x ;x>0
Je vais commencer par ces petites remarques
f(f(x))+f(x)=6x
f(f(f(x)))+f(f(x))=6f(x)
.
.
.
fof...of(x)+fof....f(x)=6fof....f(x)
n+2 n+1 n fois
on pose alors la suite
Un=fof.......f(x) avec Uo=x
n fois
on a alors Un+2 + Un+1 = 6 Un (*) n £ lN
on considère l'equation x²+x-6=0 . Les solutions des cette equation sont x_1=2 et x_2=-3
donc les suites qui verifient (*) s'ecrivent sous la forme Un=A(2)^n + B (-3)^n
(on note que A = g(x) et B = h(x) parceque U_0=A+B=x)
f: lR+ -------> lR+ donc pour tout n £ lN-{0} Un>=0 et Uo>o
donc A+B>0 et U1=2A-3B>=0
d'ou 3A+3B>0 et 2A-3B>=0 alors A>0
Un>=0 donc A(2)^n + B (-3)^n >=0 ==> A(2)^(2n+1) - B 3^(2n>+1)=0 et A(2)^(2n) + B(3)^(2n) >=0
==> B/A>=(2/3)^(2n+1) et - B/A >= (2/3)^(2n)
en faisant tendre n à +00 on obtient alors 0=<B=<0 d'ou B=0 et alors A=x
donc Un= 2^n x
Or U1=f( x) donc f( x)=2x pour tout x>0

abdelbaki.attioui a écrit:

La solution de ?

salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+

salut
c'est ma reponse c'est bizarre jai envoyé la reponse du pb de la semaine et du moi de la mm boite mais seule la reponse du pb du moi qui a été reçue merçi bien
a+

selfrespect a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

La solution de ?

salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+

salut
c'est ma reponse c'est bizarre jai envoyé la reponse du pb de la semaine et du moi de la mm boite mais seule la reponse du pb du moi qui a été reçue merçi bien
a+

fau qu'elle soit envoyé a amateurmaths@yahoo.fr et non pa a l'adresse de Mr abdel baki atioui

yassine-mansouri a écrit:

selfrespect a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

La solution de ?

salut Mr abdelbaki :
notons f^n=f0f0f....0f la n ème itérée de f.
> remarquons que f=0 est une solution.
supposons que f soit une solution nn identiquement nulle :
on a f²=6id-f
f^3=6f-f²=7f-6id
en calculant f^3 .f^4 on remarque que chaque itération affine l'intervalle des images par f , en fait f >=0 ==> f^n>=0 qq soit n de N
alors cela revient a déterminer les deux suites (an) , (bn) tq :
f^n=an.f+bn.Id ( en fait leurs existence est assurée par une simple récurrence et qui donne en effet deux relations de récurage vérifiée par (an) et (bn)) on trouve enfin :
an=(2^n-(-3)^n)/5 et bn=6(2^(n-1)+(-1)^n.3^(n-1))/5
■pour n pair on a : f^2n=bn.[Id-(-an/bn)f) en passant a la limite lorsque n-->+00 -an/bn-->1/2 , or f^2n>=0 alors "Id>=f/2"
■pour n impair on trouve de mm "f>=2Id"
enfin on a prouvé , f solution ==> f=2IdR
Þ réciproquement la fct nulle et f=2IdR vérifient l'énonce.
A+

salut
c'est ma reponse c'est bizarre jai envoyé la reponse du pb de la semaine et du moi de la mm boite mais seule la reponse du pb du moi qui a été reçue merçi bien
a+

fau qu'elle soit envoyé a amateurmaths@yahoo.fr et non pa a l'adresse de Mr abdel baki atioui

ah merçi , p étre j'ai envoyé les deux au meme distinataire !!

ya pa de probleme l mohim kharejtih ^^