Inégalité 3

Bonjour,
Soient A, B, C des reéls tels que ABC=1.
Montrer que
(A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) ≤ 1.

je crois que A B C doivent etre positifs.
n'est ce pas ?

Bonjour SAMIR

Effectivement A,B et C des réels positifs

AA+

si ils sont positifs
on a
(B-1+1/C)=B(1-1/B +1/BC)=B(1+A-1/B)
d'ou
(A-1+1/B)(B-1+1/C) =< B (A)^2 (facile à voir )
de meme
(B-1+1/C)(C-1+1/A) =< C (B)^2

(C-1+1/A)(A-1+1/B) =< A (C)^2
en multipliant on trouve
[(A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A)] ^2 =< (ABC)^2 =1
d'ou l'inégalité demandé

n'est ce pas un OIM?

salut riemann et bienvenue
si je me souviens c'est OIM 2000

je vous en prie.by the way,vous etes quel niveau?

samir a écrit:

en multipliant on trouve
[(A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A)] ^2 =< (ABC)^2 =1
d'ou l'inégalité demandé

En fait on trouve :
(A - 1 + 1/B)^2 (B - 1 + 1/C)^2 (C - 1 + 1/B)^2 <= A^3B^3C^3 = 1
Ce qui nous amène à la même conclusion!

Et, Samir, tu dis "si ils sont positifs", mais, tu n'as pas prouvé que c'était vrai si il y en a au moins un négatif

samir a écrit:

si ils sont positifs
on a
(B-1+1/C)=B(1-1/B +1/BC)=B(1+A-1/B)
d'ou
(A-1+1/B)(B-1+1/C) =< B (A)^2 (facile à voir )
de meme
(B-1+1/C)(C-1+1/A) =< C (B)^2

(C-1+1/A)(A-1+1/B) =< A (C)^2
en multipliant on trouve
[(A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A)] ^2 =< (ABC)^2 =1
d'ou l'inégalité demandé

W-A-W

abdelbaki.attioui a écrit:

Bonjour,
Soient A, B, C des reéls tels que ABC=1.
Montrer que
(A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) ≤ 1.

AA+

un changement de variables, a=x/y et b=y/z et c=z/x résoud bien le problème

voilaaa

abdelbaki.attioui a écrit:

Bonjour,
Soient A, B, C des reéls tels que ABC=1.
Montrer que
(A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) ≤ 1.

AA+

l'inegalité est équivalente à

Imo2000