inegalité...

prouver que pour tt x£[0.pi/2[ :



bonne chance

salam

sinx , tanx et 3x étant tous positifs ;on peut alors démontrer

l'inégalité des carrés

factorisons d'abord

V(sinx).[V(2) + 1/V(cosx) ] >= V(3x)

aux carrés:

sinx[ 2 + 1/cosx + 2V(2)/V(cosx) ] >= 3x

1) pour x=0 c'est vérifié

2) pour 0 < x < pi/2

démontrons alors que : sinx/x .[ 2 + 1/cosx + 2V(2)/V(cosx) ] >= 3


---------------------------------------------------------------

le [ 2 + ..........] >= [2 +1 +2V(2) ] >= 3+2V(2)

ensuite considérons f(x) = sinx/x

f'(x) = (x.cosx - sinx)/x^2 = cosx.( x - tanx) / x^2

un résultat connu sur [0,pi/2[ : sinx < x < tanx

donc f'(x) > 0 =====> f str. croissante

comme elle est prolongeable par cont .en 0

f(x) >= lim sinx/x =1

-------------------------------

conclusion : sinx/x[2 +1/cosx + 2V(2)/V(cosx) ] >= 1.(3+2V(2)] >= 3.


CQFD

-------------------

suite......

je me suis rendu compte après que l'idée principale était le terme sinx/x

donc pas besoin de passer aux carrés
-------------

il suffit de démontrer que : V(sinx/x) .[ V(2) + 1/V(cosx) ] >= V(3)

V(sinx/x) >= 1 et [ V(2) + 1/V(cosx) ] >= V(2) + 1

====> le produit >= V(2) + 1 >= V(3)


--------------------------------------

on pose

et puisque f est derivable sur l'intervalle [0,pi/2[
on a



donc f est croissante et par suite

donc

et on a

d'ou le resultat