= fonctionnelle Simple et importante!!!!

Salut à tous et à toutes !!!!!

Il s'agit d'une équation fonctionnelle qui a une histoire mathématiques bon...:

Déterminer toutes les fonctions f de IR verifiants:

f(ax) = af(x)(1 - f(x)) / avec a une constante

bonne maths et merci !!!

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LaHoUcInE

je crois que celle la sera reste 9mois comme ma premiere equation fonctionnelle qui j'ai deja postée et resolue par Mr Elhor...
c'est une resultat trés jolie !!!!!
allez bouez un peu et merci
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lahoucine

salut

j'ai trouvé jusqu'à maintenant

fog(a) = a gof (1-a)

tel que g(x) = a(1-a)

pouvez vous m'aider à continuer de me donner des indices car je ne maitrise pas encore les composition et leur variations ... !

on a fog(a) = a gof (1-a)

nous concluront quoi de f en sachant que g est croissante en ]-inf;1/2] est décroissante en [1/2;+inf [ ?????

{}{}=l'infini a écrit:

salut

j'ai trouvé jusqu'à maintenant

fog(a) = a gof (1-a)

tel que g(x) = a(1-a)

pouvez vous m'aider à continuer de me donner des indices car je ne maitrise pas encore les composition et leur variations ... !

on a fog(a) = a gof (1-a)

nous concluront quoi de f en sachant que g est croissante en ]-inf;1/2] est décroissante en [1/2;+inf [ ?????

salut {}{}=infini !!!

il y'a bcp des choses incompletes donc verifier votre reponse et je crois que c tres dure de reflichir comme ça même je crois qu'il faut a voir une haute niveau ((juste indication)) vous pouvez essayer
et merci
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lahoucine

salut les amis
voilà ma solution que j'en suis pas strictement sure ....




il nous reste que de calcule .....
je veux une vérification.

red_mot a écrit:

salut les amis
voilà ma solution que j'en suis pas strictement sure ....




il nous reste que de calcule .....
je veux une vérification.

En terminant le calcul, on trouve ... f(a)=f(a)

ooooh c'est vrai ???

salut rada !!!

"a" c'est juste une constante et la reponse c'est plus loin que ça en tt cas bonne continuation.

j'ai eu l'envie de generaliser cette equation dans C mais je l'ai juste poster dans IR. alors pour toi et pour votre niveau vous pouver prendre a£Z et resoudre l'equation...

bonne chance
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lahoucine

oui vous avez raison Mr pco ...!!

je peut prendre a£R ???

red_mot a écrit:

je peut prendre a£R ???

oui tu peux juste tu n'oublie pas que a est un parametre

et merci
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lahoucine

ok merci mathema

si l'on prend que f est dérivable ona
f'(ax)=f'(x)-2f'(x)f(x) donc ona f(ax)=f(x)-f²(x)+t(a) [t(a) est une fonction dépendante de a] en remplaçant dans l'équation on trouve par un changement de variable X= f(x) une équation de 2m degrés reste à discuter les cas de delta pour trouver que f(x)=h(a)=cte (h(a) est une fonction dépendente de a) pour la généralisation dans C si delta est négatif h(a) est complexe
bye!!

salut schrodinger !!!

ce n'est pas suffisant!!! et ce que tu as dis c'est seulement la solution pour que f constante et a#0 c'est f(x)=(a-1)/a

et merci mais dans C c'est tres tres compliqué que IR bonne chance
PS: les fonctions analytiques forment des problemes serieux ....
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lahoucine

Bonjour.

Ce problème me paraît très compliqué et je ne sais pas si on peut trouver une solution générale. Je serais très intéressé par votre solution, mathema ... .
Mes avancées jusqu'ici :

1) a = 0 donne tout de suite comme solutions toutes fonctions vérifiant f(0)=0

2) a>0
Il est facile de voir que l'on peut étudier indépendamment la construction de f pour x>0, x=0 et x<0

Pour x>0, par exemple, on peut poser f(x)=1/2 + g(ln(x)/ln(a))/a et on obtient :

g(x+1)=b - g(x)^2 avec b=a(a-2)/4 >= -1/4

On ne peut - à ma connaissance - donner une forme générale à cette équation que si b=0 ou 2, soit a = 2 ou 4 (memath m'a envoyé en pm un solution quasi-complète pour a=2, bravo!)

Pour les autres valeurs, on peut construire des solutions (en les définissant avec les bonnes contraintes sur un intervalle [0,1[ et en prolongeant), mais pas, je pense, donner de forme générale pour la solution.

3) a<0
On peut chercher des solutions paires au problème pour -a et on a une solution.
On ne trouve probablement pas toutes les solutions.

====== exemples pour a=2 et a=4 =========
Pour a=2 : f(x)=(1 - exp(c|x|))/2
Pour a=4 : f(x)=(1 + sin(pi/6 + c*sqrt(|x|)*(-1)^[ln(|x|)/ln(4)]))/2 pour x non nul et f(0)=3/4

mais ce ne sont pas les seules solutions pour ces deux valeurs de a.

--
Patrick,
pensif ...

merci mr pco et merci mathema pour ce super gros probleme .
si ca ne vs derange pas mr pco pouvez vous poster la sollution pour le cas a=2 ?, car la mienne est toujours inachevé
merci

Bonjour à tous,

Voilà, à la demande de memath, une solution générale pour a=2 :

L'équation à résoudre est donc f(2x)=2f(x)(1-f(x))

1) séparons les cas x<0, x=0 et x>0
===================================
1.1) Si x = 0, on a f(0) = 2f(0)(1-f(0)) et donc f(0)=0 ou f(0)=1/2
1.2) Si x < 0 : Il est clair que si f(x) est une solution pour x<0, alors g(x)=f(-x) est une solution pour x>0. Donc, pour x<0, on a f(x)=g(-x) = g(|x|).
Donc toute solution pour x<0 peut s'écrire à partir d'une solution pour x > 0.
1.3) conclusion :
Il suffit de chercher toutes les solutions pour x > 0. La solution générale est alors :

f(0)=0 ou 1/2
f(x)=f1(|x|) pour x<0
f(x)=f2(|x|) pour x>0

f1 et f2 étant deux solutions quelconques valables pour x>0, éventuellement différentes, bien sûr

2) recherche des solutions pour x > 0
=====================================
Posons f(x)=g(x)+1/2. L'équation devient g(2x)=-2g(x)^2
Posons g(x)=-h(x)/2. L'équation devient h(2x)=h(x)^2
Donc h(x) >=0 et x>0 et nous pouvons écrire h(x)= k(x)^x. L'équation devient k(2x)=k(x)
x > 0 nous permet d'écrire k(x)=l(ln(x)/ln(2)). L'équation devient l(1 + ln(x)/ln(2)) = l(ln(x)/ln(2))

l(x) est donc n'importe quelle fonction périodique de R dans R+ dont 1 est une période.

La solution générale (chaque transformatiopn étant une équivalence) pour x>0 est donc (en remontant les définitions de g, h, k et l) :

f(x) = (1 - (l(ln(x)/ln(2)))^x)/2 où l(x) est n'importe quelle fonction de R dans R+ telle que l(x+1)=l(x)

Comme une des formes générales des fonctions l(x) positives ou nulles vérifiant l(x+1)=l(x) est |m({x})|, m(x) quelconque et {x} désignant la partie fractionnaire de x, on peut ainsi donner une autre forme générale de f(x) :

f(x) = (1 - |m({ln(x)/ln(2)})|^x)/2 où m(x) est une fonction quelconque de R dans R

3) Solution complète
====================
En combinant 1) et 2), on a une solution générale de l'équation initiale :

Soit m1(x) et m2(x) deux fonctions quelconques de R dans R :

Pour x < 0 : f(x) = (1 - |m1({ln(|x|)/ln(2)})|^|x|)/2
Pour x = 0 : f(0) = 0 ou 1/2
Pour x < 0 : f(x) = (1 - |m2({ln(|x|)/ln(2)})|^|x|)/2


4) exemples
===========
Voilà 4 examples de fonctions continues solutions de l'équation :

f(0)=0, m1(x)=m2(x)=e^c (fonctions constantes, c quelconque) ==> f(x) = (1 - exp(c|x|))/2

f(0)=0, m1(x)=e^(-c), m2(x)=e^c ==> f(x) = (1 - exp(cx))/2

f(0)=1/2, m1(x) = m2(x) = 0 ==> f(x) = 1/2

f(0)=0, m2(x)=2 + sin(2pi*x), m1(x)=1/m2(x) ==> f(x) = (1 - (2 + sin(2pi*ln(|x|)/ln(2)))^x)/2 pour x non nul et f(0)=0

mrci bcp , sinn on applique directement les malicieux changements suivants pour x>0 :



on a donc :

et :

et comme par magie on obtient:

d ou :

Certes, "directement"

Mais la transformation alpha <=> beta nécessite de traiter les cas x = 0 et x < 0, ce ui nécessite quelques lignes de plus ....

Par exemple, la fonction trouvée n'est pas définie pour x <=0 . Et on peut remplacer tous les "x" par |x| après quelques lignes d'explication mais alors on perd la généralité car on ne trouve que les solutions paires.

La recherche de démonstrations courtes ne doit pas se faire au détriment de la rigueur

vs savez nous les lyceens on manque toujours de rigueur mais ca n empeche que j ai ecris que c etais dans le cas ou x>0

salut à tous !!!!

d'abord une observation generale:
---> je vois que vous avez pris a £IN mais le probleme c'est que a£IR...

---> Mr Pco: tu as trop detailé la solution c'est bon en tt cas (, advantage pour les lycéens ,) bon courage!!!

je laisse toujours le sujet ouvert et bonne chance!!!

PS: pour memath (pas de quoi) c'est un joli sujet et un peu tres compliqué mais dans C et je le trouve un peu simple dans IR....
--> pour qu'on pose certaine fonction ça ne donne pas PARFOIS a la fin une solution generale d'une equation fonctionnelle donnée. pour pco c'est bien fais car a la fin il a generalisé le cas par UNE FONCTION QLQ GENERALE

et merci ...
à suivre
______________________________________________________________
lahoucine

mathema a écrit:

salut à tous !!!!

d'abord une observation generale:
---> je vois que vous avez pris a £IN mais le probleme c'est que a£IR...

---> Mr Pco: tu as trop detailé la solution c'est bon en tt cas (, advantage pour les lycéens ,) bon courage!!!

je laisse toujours le sujet ouvert et bonne chance!!!

PS: pour memath (pas de quoi) c'est un joli sujet et un peu tres compliqué mais dans C et je le trouve un peu simple dans IR....
--> pour qu'on pose certaine fonction ça ne donne pas PARFOIS a la fin une solution generale d'une equation fonctionnelle donnée. pour pco c'est bien fais car a la fin il a generalisé le cas par UNE FONCTION QLQ GENERALE

et merci ...
à suivre

Bonjour Mathema,

Nous n'avons pas pris a dans N. Nous avons simplement cherché des cas particuliers à résoudre.

J'ai dit que le problème pouvait, à ma connaissance :
- être résolu avec une forme close pour a = 0, a = 2 et a=4
- être résolu avec une construction par morceau pour a réel strictement positif différent de 2 et 4 mais, toujours à ma connaissance, sans forme close.

C'est tout.

Peux-tu nous confirmer, avant que nous continuions à chercher, qu'il existe des solutions en forme close pour a réel strictement positif autre que 2 et 4 ?

Merci d'avance

Bonjour toujours,

Si a= 1, f(x)=0 est la seule solution.
Pour a >0 différent de 1, et si on écrit g(x)=ax(1-x), on a f(ax)=g(f(x))

g(x) est une bijection de R- dans R- et on peut définir g^[n](x) définie sur R- comme la composition de g(x) n fois, avec les conventions :
g^[0](x)=x
g^[1](x)=g(x)
g^[-1](x) = réciproque de g(x)
Donc g^[n](x) est légitimement définie sur R- pour tout n de Z.

Soit alors deux fonctions h1 et h2 quelconques de [1,a[ (ou ]a,1] si a<1) dans R-

La fonction f suivante, définie de R dans R- U {1 - 1/a} est une solution :
Pour x < 0 : f(x) = g^[[ln(-x)/ln(a)]](h1(x*a^(-[ln(-x)/ln(a)])))
Pour x = 0 : f(x) = 0 ou 1 - 1/a
Pour x > 0 : f(x) = g^[[ln(x)/ln(a)]](h2(x*a^(-[ln(x)/ln(a)])))

Bien sûr, ce n'est pas une forme générale, car il existe des solutions qui ne sont pas de cette forme (en particulier il peut exister des solutions prenant des valeurs positives strictes autres que 1 - 1/a, ce qui n'est pas le cas des solutions ci dessus).

Bien sûr aussi, il serait intéressant d'expliciter g^[n](x), ce que je ne sais personnellement faire que pour a = 2 et a = 4.

Honnêtement, mathema, je pense qu'il serait temps que vous donniez la solution générale à ce problème.

salut Mr pco !!!

evidement !!! en realité cette equation m'a pris bcp de temps mais j'ai resolus cette equation la:

f(az)=af(z)(1-f(z)) pr tt z£C et a£C* pour a=0 c evident!!

et ma solution a pris environs 93 pages !! c trops je crois !!
mais jolie n'est ce pas ????!!!!

et merci
PS: bonne continuation....
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lahoucine

et je crois que le cas le plus facile dans IR c le cas a=2 ...

PS: pour le temps de resolution c'est environ 2 mois separement
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lahoucine