Exos : theoreme des valeurs intermediaires

Salam
ces exos figurent dans le manuel des maths -analyse- Terminale SM

1-
Soit f une fonction definie de [a,b] a [a,b] et continue sur [a,b] Montrer que f admet un point invariant
2-
On considere les deux fonctions f et g definie de [a,b] vers R et continues sur [a,b] tel que pour tout x de [a,b] on a f(x)<=g(x)
Soit c un reel de [0,1]
Montrer que si f et g admisent un point invariant , alors la fonction h definie sur [a,b] de : h(x)=cf(x)-(1-c)g(x) admet aussi un point invariant

voila la solution est tres facile il suffit de mettre h(x)=f(x)-x
h(x) est continue et h(a)=f(a)-a est superieur a zero
et h(b)= f(b)-b est inferieur a zero alors selon le theoreme
il existe un element c de l'intervale a,b tel que h(c)=0
alors f(c)=c

voila la solution est tres facile il suffit de mettre h(x)=f(x)-x
h(x) est continue et h(a)=f(a)-a est superieur a zero
et h(b)= f(b)-b est inferieur a zero alors selon le theoreme
il existe un element c de l'intervale a,b tel que h(c)=0
alors f(c)=c

saadimov a écrit:

voila la solution est tres facile il suffit de mettre h(x)=f(x)-x
h(x) est continue et h(a)=f(a)-a est superieur a zero
et h(b)= f(b)-b est inferieur a zero alors selon le theoreme
il existe un element c de l'intervale a,b tel que h(c)=0
alors f(c)=c

mais quel exo t'était entrain de resoudre ???

pour le n2
on considère la fonction g(x)=h(x)-x=cf(x)-(1-c)g(x)-x
soit r et s deux nombre de [a,b]tel f(e)=e et g(s)=s
g(e)=cf(e)-(1-c)g(e)-e =c.e-(1-c)g(e)-e >=c.e-(1-c)f(e)-e=0
de la méme manière on trouve g(s)<=0
donc d aprés th des valeures intermediaires.......

FERMAT a écrit:

pour le n2
on considère la fonction g(x)=h(x)-x=cf(x)-(1-c)g(x)-x
soit r et s deux nombre de [a,b]tel f(e)=e et g(s)=s
g(e)=cf(e)-(1-c)g(e)-e =c.e-(1-c)g(e)-e >=c.e-(1-c)f(e)-e=0
de la méme manière on trouve g(s)<=0
donc d aprés th des valeures intermediaires.......

ca veut dire quoi une fonction admisant un point invariant?

c a dire qu il existe un nombre que son image par f est lui méme,exemple
la fonction f(x)=x ,elle admet un point invariant a a titre dexemple f(4)=4

FERMAT a écrit:

c a dire qu il existe un nombre que son image par f est lui méme,exemple
la fonction f(x)=x ,elle admet un point invariant a a titre dexemple f(4)=4

Merci FERMAT

pour le n1:
on considère la fonction g(x)=f(x)-x (continue)
g(a)=f(a)-a>=0
g(b)=f(b)-b<=0
d'ou le resultat

FERMAT a écrit:

pour le n1:
on considère la fonction g(x)=f(x)-x (continue)
g(a)=f(a)-a>=0
g(b)=f(b)-b<=0
d'ou le resultat

je pensais pas que c'est tellement facile bon en tout cas merci.

pour ta question mehdi je crois que j'ai la solution
soit a<=c<=b alors a<=f(c)<=b
alors 0<=f(c)-c <= 0 alors f(c)-c=0 ce qui donne f(c)=c

pour ta question mehdi je crois que j'ai la solution
soit a<=c<=b alors a<=f(c)<=b
alors 0<=f(c)-c <= 0 alors f(c)-c=0 ce qui donne f(c)=c

saadimov a écrit:

pour ta question mehdi je crois que j'ai la solution
soit a<=c<=b alors a<=f(c)<=b
alors 0<=f(c)-c <= 0 alors f(c)-c=0 ce qui donne f(c)=c

mais tout d'abord pourquoi tu fais des doubles postes?