<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

ok
restons un peu pres du ddenombrement :d:d

en utilisant (1+x)^n.(1+x)^p = (1+x)^n+p demontrez que :

SIGMA( k=0 ----> n)(C(k parmi n )²) = C(n parmi 2n)

N.B : il y'a plusieurs methodes pr demontrer cette formule mais le but de lexo est d'utiliser (1+x)^n.(1+x)^p = (1+x)^n+p

Je participe.

Salut ,
on a : (1+x)^n * (1+x)^n=[Sigma (k=0-->n) kCn x^k]²
le facteur du terme x^n après simplification est:
SIGMA( k=0 --> n) kCn* (n-k)Cn
qui vaut SIGMA( k=0 ----> n)(kCn²)
d'autre part : (1+x)^n * (1+x)^n=(1+x)^2n
d'où on trouve simplement que le facteur du terme x^n est nC2n
alors: SIGMA( k=0 ----> n)(C(k parmi n )²) = C(n parmi 2n)

Allez poste un autre exo.

J'ai une méthode trés élégante dans un bref moment je la posterai

salam

mes excuses pour tout le monde

car je fais la queue à la maison pour attendre mon tour

mes deux fils ne me laissent pas suffisament de temps pour vous rejoindre .

c'est pas grave ; l'essentiel c'est de vous suivre soit de près soit de loin.


A VOUS .......

............

soit f la fonction définie par
f:[1,+oo[-->[√2,+00[
x-->√(x+1)+√(x-1)
M.q f est bijective

Alors démontrons que quelque soit y £ [1,+oo[ il existe un unique x £ [√2,+00[ tel que f(x) = y:
donc f est bijective et : f-1(x)=(x²-2/2x)²+1

on pose

V(x+1) +V(x-1) = y

don c

2x + 2V(x^2-1) = y^2

y^2-2x = 2V(x^2-1)
au carré une aut' fois

4x^2 - 4xy^2 + y^4 = 4 (x^2 - 1)
alors :

-y^4 - 4xy^2 + = 4

x = (4 + y^4)/ y^2
et par l'encadrement de y et montra que x>1
donc pour tous y > V2

il esiste 1 seul x >1

conclusion f est bijective

{}{}=l'infini a écrit:

on pose

V(x+1) +V(x-1) = y

don c

2x + 2V(x^2-1) = y^2

2x - y^2 = 2V(x^2-1)
au carré une aut' fois

4x^2 - 4xy^2 + y^4 = 4 (x^2 - 1)
alors :

y^4 - 4xy^2 + = -4

x = -(4 + y^4)/ y^2
et par l'encadrement de y et montra que x>1
donc pour tous y > V2

il esiste 1 seul x >1

conclusion f est bijective

salam

pour la bijection 2 façons

1) définition
2) méthode utilisée souvent en terminale
......................
pour la 1) l'injection et la surjection

ou bien : deux en un

pour tout y >= V(2) , il existe x unique >= 1 tel que : f(x)=y

..........................................

par définition : si y = f(x) admet une solution x alors x >= 1

or V(x+1) + V(x-1) = y <===> 2x +2V(x²-1) = y²

<==> 4(x²-1) = (y²-2x)² <===> 4x²-4= y^4 - 4xy² + 4x²

<===> x= (4 + y^4) / 4y² = 1/y² + y²/4

donc : l'unicité de x est garantie pour tout y fixé >= V(2).

............................................................

Identité de Vandermonde :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_Vandermonde

Moncefelmoumen a écrit:

Un peu de retard, ça va vite chez nous
J'attends une confirmation de ma réponse.

Solution correcte.A toi Oussama !

salam

désolé Figo

la 1ère ligne de oussama 1305 , n'est pas correcte

ensuite il a juste montre que x est unique


....................................................

Ah bon, pourquoi ma première ligne est fausse?

Et ma soluce Mr houssa ?

à vrai dire pour Oussama: on doit travailler avec des équivalences sinon il faut 2 implications , mm chose pour l'infini
->c'est ce que je pense

Désolé

Toutes les équivalences marchent puisqu'on a des bornes à la fonction.

et après cela tu dois signer que x>1 , oussama

{}{}l'inifini , Je pense que c'est evident , puisque y ne s'annulle Jamais !


Donc a Toi Oussama !

MouaDoS a écrit:

{}{}l'inifini , Je pense que c'est evident , puisque y ne s'annulle Jamais !


Donc a Toi Oussama !

oui c évident mais nécessaire

la correction de la 1ère ligne : inverser les intervalles.

ensuite remarquer bien que x = [(y²-2)/2y]² + 1 est acceptable.

............................

Puisque y > V2 donc y²-2>0 et 2y >0 donc (y²-2/2y)²>0
Conclusion x>1
Une super facile, jouée sur la vitesse: