<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

Salut,
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calculer en fonction de n la somme:

Salut miss-Design , tu peux me dire d'où t'as eu l'idée de l'équation qui t'as permet de deduire que la divisibilité existe ??

j'ai du utiliser la factorisation de a^n+b^n et a^n-b^n
plusieurs fois en essayant à chaque fois de trouver un facteur commun c'est tt , et pour le 5 quand j'ai simplifier la dernière expression qui m'a resté je l'ai trouvé c tt

salam

remarque1:

Somme des C(n,p) , p : 0 ---------> n , vaut 2^n

remarque 2 :

C(n+1 , p+1) = (n+1)/(p+1) . C(n,p)

===> 1/(p+1) . C(n,p) = 1/(n+1) .C(n+1 , p+1)

en sommant p: 0 --------> n

on obtient : 1/(n+1).[ somme des C(n+1 , p+1) pour p :0--------->n]

= 1/(n+1). [ 2^(n+1) - C(n+1, 0)]

= [2^(n+1) - 1] / (n+1)
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A vous Mr Houssa !

revenons à la géométrie:

Un hexagone régulier ABCDEF.
M € [AC] ; N € [CE] tels que :

AM/AC = CN/CE = k

Trouver k pour que : B , M , N soient alignés.

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alors aucune tentative ???

.

Soit ABCDEF un hexagone régulier de côté a.

ABC et CDE et EFA sont des triangles identiques.
==> AC = CE = AE.
==> Les angles de ACE sont tous égaux à 60° et AM = CN = kAC.

Selon le théorème d'Al Kashi dans ABC, AC² = 2a² - 2a².cos120° = 3a²
==> AM² = 3k²a²
Selon le théorème d'Al Kashi dans ABM, ==> BM² = a²+AM² - 2a.AM.cos30°
==> BM² = (3k²+1)a² - 2√3ka².cos30°
==> BM² = (3k²+1)a² - 3ka².
==> BM² = (3k² - 3k + 1)a²

D'autre part, selon le théorème d'Al Kashi dans CMN,
MN² = CM² + CN² - 2CM.CN.cos60°
==> MN² = 3(1-k)²a² + 3k²a² - [3k(1-k)a²]
==> MN² = 3(1-k)(1-2k)a² + 3k²a²
==> MN² = 3[(1-k)(1-2k) + k²]a²
==> MN² = 3(3k² - 3k + 1)a²

D'autre part, BCN est rectangulaire en C.
Donc, selon le théorème de Pythagore dans BCN, BN² = a² + 3k²a²
==> BN² = (3k² + 1)a².

Or, B et M et N sont alignés implique que BM + MN = BN
==> √(3k² - 3k + 1)[(1+√3)]a = √(3k² + 1)a
==> √(3k² - 3k + 1)[(1+√3)] = √(3k² + 1)
==> (3k² - 3k + 1)(1+√3)² = (3k² + 1)
==> (3k² + 1)[(1+√3)² - 1] - 3k(1+√3)² = 0
==> (3+2√3)(3k² + 1) - 6(2+√3)k = 0
==> 3(3+2√3)k² - 6(2+√3)k + (3+2√3) = 0
Équation classique du second degré, le delta est nul et la solution est unique et est k = √3/3.
Sauf erreur.

oui parfait

moi je propose une solution avec les angles uniquement
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on part de B, M , N alignés

on poursuit la même idée :

P € [EA] tel que : EP = k.EA

1ère étape : on montre que MNP est équilatéral

2ème étape : soit O le centre de l'hexagone.

c'est aussi le centre de MNP.

3ème étape : les triangles AOM et ABM sont isométriques

===> les angles :
MAO + AOM = OMC=OMN + NMC

===> 30°+ AOM = 30°+ NMC

==> AOM=NMC ===> ABM= AMB =====> AMB isocèle en A

conclusion : k = AM/AC = AB/AC = AB/ABV(3) = 1/V(3).


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alors à toi MATHERROR..........

.

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 1 et (Θ₁, Θ₂, Θ₃ ... Θn) des réels et c une constante de IN* tels que tan²Θ₁ + tan²Θ₂ + tan²Θ₃ + ... tan²Θn = c.

Déterminez ( en fonction de c ) la valeur maximale de n pour laquelle la valeur minimale de (tan²Θ₁.cosΘ₁)² + (tan²Θ₂.cosΘ₂)² + ... (tan²Θn.cosΘn)² soit 1.

slt tous le monde; je tente (pas sûr):
en utilisant: 1/cos²ai=tan²ai+1
on trouve: sigma(tan²ai*cosai)²=c-n+sigma(1/(tan²ai+1))i=1>>n =1
on prend:
f(x)=1/(tan²x+1)
f'(x)=0 <==> 2tanx*(tan²x+1)=0
min(f(x))=-1 ou min(f(x))=-1/2
alors sigma(...)=-n ou sigma(...)=-n/2
alors :
c-n-n=1 <==> n=(c-1)/2
ou
c-n-n/2=1 <==> n=(2c-1)/3

maintenant, reste à étudier les cas de c ( divisible par 3, paire, impaire....)
es-ce-c'est juste?

où etes vous passés les matheux? il n'y a plus de jeu d'été ?

moi ossi je di a miss-design ke cé faux pr le deuxieme exo1et 0 ne sont pa des soluces

slt moi aussi je s8 d'accord avec figo

calculer
lim (rac(sin2nx/1+cosnx))/4n²x²-pi²
x->pi/2n

Je crois qu'il y'a une erreur : ... 1+cos2nx ...
Résultat : x->(pi/2n)- : -infini
x->(pi/2n)+ : +infini

il n'y a pas d'erreur
résultat c'est : - infini