<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

pour maganiste

la 1ère ligne : x€D ......???????

si on démontre que x € ]1 , 2[ , c'est terminé !!!!

pour Boomer

à la fin :même chose si k plus ........ ( détaillez)


.......................................................

bjr a tous;
je vais proposer une solution inspirer de la méthode de boomer (espérons que c'est juste) :
x=V2/k
je fais une subdivision de cas:
---> lkl=<V2 ==> k=-1 (impossible) ou k=1 ( x=V2)
---> k=<-V2 ==> -1=<V2/k<0 ==> [x]=-1 (impossible)
---> k>=V2 ==> 0<V2/k<1==> 0=<x<1 (impossible car [x]<>0)

donc; une seule solution x=V2

pr demontrer x € ]1 , 2[ :

1er cas : x £(0.1) donc E(x) =0 impossible

x>2 donc E(x) >=2 donc x.[x.[x]] > 2 > V2 impossible

x £ (-1.-2) donc E(x) =-2 donc [x.[x]] £(2.4) impossible

x< -2 meme chose impossible

donc seul cas x £( 1.2) sauf erreur

oui c'est mieux .

donc à toi botmane !!..

.

voilà:
x,y,z sont des réels positives ;montrer que
(x+y)(x+z)(y+z)²/(xyz(x+y+z)) >4

veux tu dire [(x+y)(x+z)].(y+z)²/(xyz(x+y+z)) >4
ou bien [(x+y)(x+z)(y+z)]²/(xyz(x+y+z)) >4 ??

la première proposition ( d'après la source)

solution du problème:
on sait que (y+z)²≥4yz
-->
on a (x+y)(y+z)=x²+xy+yz+zx>x²+xy+yz=x(x+y+z)
alors
d'où le résultat voulu :

bien, prend la main !

m et n doivent eux aussi etre des entiers naturels?


lmouhim, je tente (pas du tout sur),
d'aprés cauchy-schwarz: (a+b+c+d)²=<4(a²+b²+c²+d²)
alors: m=<9 , avec m>=2 alors m£{2.3.4.5.6.7.8.9}
et pour n , il suffit de choisir le plus grand ,(puisqu'ils jouent le même rôle) a condition qu'il soit carré complet

.......

bSr......
oué mais c clair.....puisque a b c et de de IN* et a+b+c+d=m² alors que £IN*
de même pour n puisque n=max{a,b,c,d}
mais nn c pas la bonne réponse m et n ont des valeurs précises....essayez encore!!!!!

48h sont écoulées, stp majdouline, tu peux proposer une piste ou indice qui peut aider dans la solution?

merci

les 48h ne se sont pas encore ecoulées ....

salut
je crois que le seul couple vérifiant les conditions est ( m=9 ; n=6 )
selon C.S m=<9 et vu que (a.b.c.d)£ IN * alors m>=2
et on a n^4=< 1989 du coup n=<6
aussi, 4 n^4 >= 1989 => n>4
alors n£{5,6}
et apparemment n<m alors on a que des couples précis à vérifier
dans cette étape il n y a que des calculs
.....
et enfin j'ai trouvé que la seule solution est n=6; m=9
Sauf erreur

oué c ça miss-design... à toi de poster !!!

Bon, à vrai dire , j'ai pas mes sources à cotè de moi maintenant :p
mais je peux poster un exo dont je m'en souviens, et c facile
voilà:
montrer que pour tout n de IN* et pour tout x de IR
E(E(nx)/n)=E(x)

soit {x} la partie décimale de x
--->x=E(x)+{x}
E(nx)=E(n.E(x)+n.{x}) on a 0≤n.{x}
alors E(n.E(x))≤E(n.E(x)+n.{x})
d'où n.E(x)≤E(n.E(x)+n.{x})
<=>n.E(x)≤E(nx)
-->E(x)≤E(nx)/n
E(x)≤E[E(nx)/n] (1)
--------------------------------------------------------------------
on sait que E(nx)≤nx
alors E(nx)/n≤x
d'où E[(nx)/n]≤E(x) (2)
-----------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a :E(x)≤E[E(nx)/n]≤E(x)
----->E[E(nx)/n]=E(x)

majdouline a écrit:

soit {x} la partie décimale de x
--->x=E(x)+{x}
E(nx)=E(n.E(x)+n.{x}) on a 0≤n.{x}
alors E(n.E(x))≤E(n.E(x)+n.{x})
d'où n.E(x)≤E(n.E(x)+n.{x})
<=>n.E(x)≤E(nx)
-->E(x)≤E(nx)/n
E(x)≤E[E(nx)/n] (1)
--------------------------------------------------------------------
on sait que E(nx)≤nx
alors E(nx)/n≤x
d'où E[(nx)/n]≤E(x) (2)
-----------------------------------------------------------
de (1) et (2) on a :E(x)≤E[E(nx)/n]≤E(x)
----->E[E(nx)/n]=E(x)

Salut majdouline, il y a quelque chose qui cloche dans cette démonstration, surtt la première partie
si tu peux éclaircir ça sera mieux

bJr....
E(nx)=E(n.E(x)+n.{x})
0≤n.{x}
alors E(n.E(x)+0)≤E(n.E(x)+n.{x})
--->E(n.E(x))≤E(n.E(x)+n.{x})
n.E(x) £ IN alors E(n.E(x))=n.E(x)
j'espère que c plus clair maintenant

à toi de poster Majdouline

salut !
j'ai trouvé jusqu'à mnt (a-b)⁵+(b-c)⁵+(c-a)⁵ est divisible par (a-b)(b-c)(c-a)
et pour 5 j'essayerai !
voilà ma demo

on a



on pose alors A_1=(c-a)A_2
donc on doit mnt prouver que A_2 est divisible par (b-c)(a-b)

on a encors :




ce qui est clairement divisible par (b-c)(a-b)

et pour le 5 je le laisse aprés XD.

Salut,
On simplifie simplement l'expres​sion(a-b)^5 + (b-c)^5 + (c-a)^5 et on trouve que :
(a-b)5 + (b-c)5 + (c-a)5=5(a-b)(b-c)(c-a)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
on déduit alors que l'expression donnée est divisible par 5(a-b)(b-c)(c-a)

bonjour...
à toi miss-design ...