arithmetica dio equa!

trouver tous les entiers tels que 3^m=2n²+1.

il est remarquable que : m et n ont la m^me parité !

C'est un problème qui a été posé sur mathlinks hier ! je vous le propose afin de prendre une idée sur la culture de la phylosophie des nombres chez les marocains!Bonne chance!

je propose cette idée
elle n'est pas encore complète
on a : 3^m=2n²+1.
donc : 1+3+3²+...+3^(m-1) = n²
alors je pense qu'il suffit de trouver m tel que la somme des diviseurs positifs de 3^(m-1) soit un carré parfait.

Des solutions sont: (m,n) = (1,1) , (2,2) et (5,11). Les seules?

C'est un cas particulier (x=3, q=2) de l'équation (NL) dite de Nagell-Ljunggren:

Pour q=2, Ljunggren à montré que les seules solutions de (NL) telles que x>1, y>1 et n >2 sont (n,x,y) = (5,3,11) et (4,7,20)
Une conjecture non encore démontrée affirme que les seules solutions (q,n,x,y) de (NL) telles que x>1, y>1, n >2 et q>= 2 sont (2,5,3,11) , (2,4,7,20) et (3,3,18,17).
Le problème proposé peut être résolu par des méthode de la théorie algébrique des nombres en travaillant dans l'anneau "factoriel":

Une méthode élémentaire serait la bienvenue.

Merci à m.elouafi pour ces informations très précises.
Une petite coquille: la dernière solution est (3,3,18,7).

Merci Mr jandri pour la rectification