Number theory(easy)

Soit p un nombre premier. démontrer qu'il existe un diviseur premier de p^p-1 congru à 1 modulo p.

NO ONE!

Soit q un diviseur premier de p^p-1 qui ne divise pas p-1.
Alors q divise (p^p-1)/(p-1)=1+p+...+p^(p-1)
Écrivons q-1=kp+r, k,r dans N tels que 0=<r<p.
Supposons que r est non nul. Par le petit théorème de Fermat on a:
q divise p^(q-1)-1 et
et par suite q divise p^r-1. Comme q ne divise pas p-1 alors q divise (p^r-1)/(p-1).
Finalement q divise le pgcd de (p^p-1)/(p-1) et (p^r-1)/(p-1) qui 'est égale
à (p^d-1)/(p-1), avec d=pgcd(p,r)=1. Absurde

bonne solution!