injectivité et surjectvitié

existe-il une fonction continue injective f:R-Q->Q?
que se passe il si on change injective par surjective?

Bonjour !


I) APPLICATION INJECTIVE
Ta question , khadija-daria , peut donner l'impressions qu'il existe des applications injectives de IR\Q vers Q et que le probléme est d'en chercher certaines qui sont injectives ...

Or, la réalité est qu'il n'y a aucune application injective de IR\Q vers Q

Si tu es habitué(e) au langage concernant les ensembles infinis , on démontre facilement que :

1) IR est non dénombrable
2) Q est dénombrable
3) Si E est un ensemble non dénombrable et F une partie de E tel que F est fini ou infini dénombrable alors E\F est non dénombrable.


Finalement même si on n'avait pas cette réalité lorsque on veut parler de continuité il faut toujours préciser les topologies utilisée à moins que l'on traite des cas usuels et les topologies sont connues ....


par exemple on peut poser la question que tu avait posée mais de Q vers IR\Q et les toplogies sont celles induites par celle de IR ...


II) APPLICATION SURJECTIVE

Là c'est une question qui mérite du travail

On va attendre que les autres reflechissent là dessus ...

je récapitule ce que est déjà dit par M.Mohammed:

*1)supposons qu'une telle fonction existe,alors vue que R\Q est non dénombrable,on aura ( la condition de continuité de f n'est pas nécessaire) f(R\Q) est dénombrable aussi,or Q est dénombrable,Absurde!

*2)ben oui,ça existe,comment faire pour le démontrer,la méthode intuitive,est de le montrer par un exemple.

Le premier,ça consiste à croire à la validité de l'axiome de choix,en effet,tu considères que IR est un Q espace vectoriel,et tu,et ça c'est l'essence de l'axiome,considères une base B de cet espace,aprés j'ai oublié l'application f,je verrais aprés!

Toutefois,il existe une autre fonction plus simple et donc la surjectivité et la continuité se démontrent facilement.
on considère une application bijective entre Z et Q (ça existe surement,pourquoi,je te laisse cette petite tâche),qu'on note p.
alors la fonction chercher est f(x)=p(E(x)),qui est continue sur R\Q et surjective!

bonjour ;

merci Redouane pour cette deuxiéme réponse mais elle mérite qu'on la détaille un peu :

Tout d'abord on sait que la topologie de IR a pour ouverts élémentaires les intervalles ]a,b[ avec a \leq b

Si X est une partie de IR les ouverts élémentaires de X sont de la forme (]a,b[ inter X)

Ainsi si X et Y soant deux partie non vides de IR

ei si f : X -> Y est une application

et a \in X

f est contiue au point a si

pour tout u et v réels tel que u <f(a)<v il existe deux réels s et t (s <a<t) tel que f(]s,t[ inter X) C ]u,v[ inter Y

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Appliiquons cele à X= Z (entiers relatifs)

Soit f une application de Z vers une partie quelconque F de IR
Alors f est continue en tout point de Z

Preuve:
Soit a \in Z

soit ]u,v[ un intervalle ouvert de IR tel que : u<f(a)< v

et soit = s=a-(1/2) et t=a+(1/2)

il est calire que : s<a<t et que f(Z inter ]s,t[) C ]u,v[ inter F


Ici il y a une chose qui peut surprendre c'est le faite que TOUTE application est continue en TOUT point de Z ...

La raison est que la topologie de Z est la toplogie discréte , c'est à dire que toute partie de Z est un ouvert et cela provient du fait que tout singleton de Z est un ouvert
(en effet si a \in Z alors : {a}=]a-(1/2),a+(1/2)[ inter Z )

Tout ça pour dire que l'appliaction p construite ci-dessus par redouane est contiue en tout point


La fonction x -> E(x) est continue de IR\Q vers Z
(je laisse le soin aux lectreurs d'y penser )

Attention : l'application x->E(x) n'est pas continue de IR vers Z !!!

merci M.mohammed pour le détaille,en fait j'ai voulu laisser à khadija-daria l'initiative de prouver ce résultat! en tout cas on vous remercie énormément pour votre temps!