Arctan

Salùùùt !

Soit f(x)=Arctan(V(x²+1) -x) .

1-Prouver que Df =R .

2-Prouver que :(pour tt x € R) 0<f(x)<pi/2 .

3-Prouver que : (pour tt x € R) f(x)=pi/4 - 1/2Arctan(x)

4-Prouver que : f est une bijection de R vers J=]0,pi/2[.Puis déterminer f-1 Pour tt x appartenant à J .

BJR
x²+1 > 0 ==> Df =IR

x²+1 > x² ===> V(x²+1) > lxl > x ==> V(x²+1) -x > 0 ===>0<f(x)<pi/2 .

pour 3 tu px poser x=tan t avec t £(-pi/2.pi/2)

4- f continue et monotne sur IR donc f bijection de IR vers f(IR)=]0,pi/2[
x=f( y) <===> x = pi/4 - 1/2Arctan(y) <===> -2x+pi/2= arctan(y ) <===> y = tan( -2x+pi/2)

Bien mais :
4-Pour montrer la Bijection !
Vous devez Montrer La continuité et la Monotonie STRICTE

je lai mentionné
si tu veu demonstration no probleme

x<y ====> arctanx < arctan y ===> -1/2arctanx>-1/2arctan y ====> pi/4-1/2arctanx > -1/2 arctan y ===> f(x ) > f(y)

f est decroissante
f est continue sur IR car le est la somme de fonctions continues sur IR

J'insiste sur la troisième question , je sais bien qu'on doit utiliser x=tan(t)....Mais , aux calculs ça parait un petit peu difficile !j'ai pu le résoudre ,mais ma méthode était un peu longue :s
Alors , Veuille postuler ta réponse !Merci !

Methode 1 :
f(x)=pi/4 - 1/2Arctan(x) <===> 2f(x) = pi/2-arctanx

tan(2f(x) ) = 2tan(f(x)/(1-tan²f(x) ) = 1/x = tan(pi/2-arctanx) ( apres simplification) car tan(pi/2-arctanx) = 1/tan(arctanx) = 1/x

donc 2f(x) =pi/2-arctanx ===> f(x)=pi/4 -arctanx /2

Methode 2

on pose x =tan t avc t £ (-PI/2.PI/2)
f(x)=Arctan(V(x²+1) -x) = arctan( V(tan²t+1) -tant) = arctan( 1/cost -tant) = arctan( 1-sint/cost) car 1+tan²t = 1/cos²t

cos t = 1-tan²(t/2)/1+tan²(t/2) et sint = 2tan(t/2)/1+tan²(t/2)

tu trouves apres f(x) = arctan( 1-tan(t/2)/1+tan(t/2) ) = arctan( tan( pi/4-(t/2) ) = pi/4 -(t/2) = pi/4- anctan x /2

j'espere que j'etais claire

Merci Maganiste ! bien joué
de ma part j'ai essayé de démontrer l'égalité :

tan[Arctan(V(x²+1)-x)+ 1/2Arctan(x)]=1

Ce qui m'a exigé bc de calculs + encadrements !

Merci quand même !

oué possible

attendez il faut mentionner que 2f(x) appartient a [-pi/2;pi/2] or c pas fait