Olympiodiose

Bon je poste ces deux exos avant de dormir : un exo sur les équations fonctionelles pour changer un peu , mais quand même un exo sur les inégalités (facile à faire)

Exercice 1:
Déterminez toutes les fonctions f définies sur R et vérifiant :
f(x²+y)=f(x)+f(y²)

Exercice 2:
Soient a;b;c>=0
Prouver que :
i) 4(a^3+b^3)>= (a+b)^3
ii) 9(a^3+b^3+c^3)>= (a+b+c)^3
iii) (a+b+c)^3 >= a^3+b^3+c^3+24abc

Exercice 1 :

pour x=y=0 on obtiens f(0)=0
et pour y=0 on obtiens f(x)=f(x²)
et pour y=-x² on obtiens f(0)=f(x^4)+f(x) <=> f(x²)+f(x)=0 <=> f(x²)=-f(x) (parceque f(x^4)=f(x²)
d'où f(x)=-f(x) <=> f(x)=0
réciproquement f vérifie l'équation

Exercice 2:

Inégalité 1 :
L'inégalité équivaut à :
ce qui est juste

Inégalité 2 :

Elle équivaut à :


ce qui est juste en utilisant l'inégalité (1) et AM-GM :

L'inégalité 3 :
Elle équivaut à :


ce qui est clairement juste

(SAUF ERREUR)

à toi samix...poste un exo !!!

Problème :

Trouver tous les réels positifs tel que :

solution du problème (sauf erreur):
on a (y+1)²≥4 <=>y(y+1)²≥4y² (1)
de meme (x+1)²≥4x<=>x(x+1)²≥4x² (2)
en sommant (1) et (2): y(y+1)²+x(x+1)²≥4x²+4y²
<=>8xy≥4x²+4y²<=>0≥(x-y)²<=>x=y
donc notre équation devient:
2x(x+1)²=8x²<=>x(x+1)²=4x²<=>x=0 ou x=1
d'où x=y=0 ou x=y=1
S={(0,0);(1,1)}
..toujours des solutions impliquant les inégalités

Ouii majdouline c'est la même soluce que j'ai fais poste ton exo !

problème proposé:
maintenant une jolie simple équation fonctionnelle
trouver toutes les fonctions f de IR--->IR sachant que :
f(x.f(y))+f(f(x)+f(y))=y(f(x))+f(x+f(y))
have fun

D'après C.S
((x-1)/x+(y-1)/y+(z-1)/z)(x+y+z)>(V(x-1)+V(y-1)+V(z-1))²
<=> (3-(1/x+1/y+1/z))(x+y+z) >(V(x-1)+V(y-1)+V(z-1))²
<=> (x+y+z)>(V(x-1)+V(y-1)+V(z-1))²

Problème : (de ma création j'espère que je ne me suis pas trompé xD)

Soit n£N*
Montrer que :


PS : (k+1)! désigne k+1 factorielle

On considère la suite Un(n£N*)=n/(n+1)!

On remarque que la suite est croissante , donc U1 est le plus petit .
U1=0.5

Donc Sigma(n / k=1) k/(k+1)! >=2

Mais pour l'autre truc j'y arrive pas ><'

Sylphaen a écrit:

On considère la suite Un(n£N*)=n/(n+1)!

On remarque que la suite est croissante , donc U1 est le plus petit .
U1=0.5

Donc Sigma(n / k=1) k/(k+1)! >=2

Mais pour l'autre truc j'y arrive pas ><'

C'est plus petit que 1, à démontrer...
Aussi, ta suite n'est pas croissante forcément...

Pour l'autre truc :

(chui pas trés sur)

c assé facile

\sum( k/(k+1)!=\sum(k+1-1/(k+1)!=sum(1/k!-1/(k+1)!)=1-1/(n+1)!<1

En effet :

Et biensur : n>=1 <=> 1- 1/(n+1)! >1/2
Poste ton exo

soit f une aplication : IN* --> IN* tq

f(ab)=f(a).f(b) (a,b £ IN*)

a>b => f(a)>f(b) ( la meme choz)

f(3) >= 7

trouvez la plus petite valeur possible de f(3)

bsr all ...
Voici ma réponse pour ton exo :

on a : f(ab)=f(a)*f(b)
donc : f(3*1) = f(3)*f(1)
et puisque : f(3)>=7 >0 alr : f(1)=1
on a a>b => f(a)>f(b)
donc : f(2)>f(1)
f(2)>=2
et : f(3)>f(2)
f(3)>=3
la plus petit valeur est 3 !!
en espérant ne pas m'être tromper

Dans l'énoncé on a f(3)>=7 donc il est impossible qu'elle soit égale a 3 .

Sylphaen a écrit:

Dans l'énoncé on a f(3)>=7 donc il est impossible qu'elle soit égale a 3 .

Je confirme...

En attendant la réponse d'EINSTEINIUM et afin de ne pas s'attarder sur cette question, je propose l'exercice suivant :

Soit x,y,z>0 tel que : x>=y>=z
Prouver que : x².y/z + y².z/x + z².x/y >= x²+y²+z²

dsl

Pas grave

soukki a écrit:

on veut montrer que

x^2.y/z+y^2.z/x+z^2.x/y>= x^2+y^2+z^2

on multipliant le tt f xyz

x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2>=x^3yz+xy^3z+xyz^3

x^3(y^2-yz)+y^3(z^2-xz)+z^3(x^2-xy)>=0

ce qui est juste puisque x>=y>=z

z²-xz >=0 n'est pas juste puisque x>=z

Bon, Pour l'exo de EINSTEINIUM, j'ais une idée ( Mais pas Sure )
On a
Donc ...
Donc ...
Donc ...
D'où (en calculant) :
on constate que la plus petite valeur de f(2) telle que f(3)7 est f(2)=4
On a alors .. et comme f(3) est un entier naturel on a donc : f(3) = 9.
Donc le Min de f(3) est 9 .

C'est juste ayoub poste ton exo