Groupe commutatif (2)

Soit G un groupe et f: x---->x^3 et g: x---->x^5 des homomorphismes sur G. Prouvez que G est commutatif.

x-> x^3 et x-> x^5 homomorphismes de groupe G montrons que G est abelien
(xy)^3 = x^3y^3 => (xy)^2=y²x² et x²y^3=y^3 x² voir groupe 4.
(xy)^5 =x^5 y^5 => xy)²(xy)^3=x^5y^5 => y²x²x^3y^3=x^5y²y^3
alors y²x^3x²=x^3x²y² => x^3y²x²=x^3x²y² => y²x²=x²y²
donc (xy)²=x²y² => xyxy=x²y² => yx=xy CQFD.