Discusion du premier JOPSM;

MohE a écrit:

Jopsm 8,Problem 3:
c'est vraie que le problems est très jolie, mais il ne merite pas d'être un problem 3, avec tout respect.

Salut

Oui , tu as raison , il fallait que je le met au premier , mais moi sans faire attention j'ai fais
probleme 1 difficile
probleme 2 moyen
probleme 3 facile

salut tt le monde
salut mohe
pur JOPSM 3
4n+1 peu etre un carré parfait
or c 4n+2 et 4n+3 ki ne peuvent po etre ds carrés parfaits ckyé démontrable..
et voici ma solution
https://2img.net/r/ihimizer/img22/6324/problem2n.png
A+

mes solutions proposées aux 8ème JOPSM.....
Exo1:
on a x et y ont donc le même signe car x³y est positif et puisque la somme 3x+y est positive alors x,y sont positifs ...ainsi en appliquant Am-Gm on a :


impossible on a donc:
S={ma localisation}
-----------------------------------------------------------------------------------------
Exo 2:
notons :
en considérant le triangle ADB en en appliquant la loi des sinus on a :




or en considérant le triangle ADC on a :


alors :



re^^ cette équation admet comme solution:

d'après Pythagore on a donc :

------------------------------------------------------------------------
problème3:
notre inégalité est équivalente à:

notons a+1=x b+1=y et c+1=z ainsi l'inégalité devient:

or par Cauchy Schwartz on a:

et on a :

alors il suffit de démontrer que :



ce qui est clairement vrai...
done!!
joli sujet samix^^

merci d'avoir aimé le sujet majdouline

mais en ce qui concerne ta solution pour l'inégalité je pense que t'as fais une faute de frappe dans la 5ème ligne c'est plûtot 3(x+y+z) et non pas x+y+z

oui merci samix c'est corrigé.....

Solution de l'exo 3 :
On a :

L'inégo équivaut donc à :

Or que :
a²+1 >= 2a Donc :

Il suffit de prouve donc que :

Posons :
a+1=x b+1=y c+1=z
L'inégo équivaut à :
Par IAG on a :
x + 4/x >= 2V(x.4/x)=4
Donc :

CQFD

Salùt !



A+!

Pour le 1ére Exo la présentation Graphique véréfie aussi le resultat trouvé :



A+!

Le graph est plutôt ainsi :
Y ne prend jamais 0 comme valeurs .. mais bons je pense que la solution de Majdouline était la meilleure =)

10ème JOPSM :

Exercice 2 :
On considère la suite définie par
On peut alors facilement prouver que c'est une suite de Fibonacci généralisée ( )
Par récurrence, on peut prouver que notre suite appartient à , puis qu'elle est strictement croissante dans
Nommons E l'ensemble défini par
Et considérons la proposition
est vraie car le seul entier inférieur à (3) et qui appartient à est 2, et 2 appartient à ()
Montrons que :
On a

Finalement, est vraie pour tout
Et puisque , alors
Aussi, on peut vérifier que 1 appartient à E.
Donc
CQFD.

Euh pour un peu d'eclaircissement :
Que représente exactement la propriété P(n) ?

Juste un petit eclairessissement , le nombre avec lequel on travail n'est il pas le nombre d'or ?? si oui alors tout les nombre appartiennent a la suite de fibonnaci et la question est déja vérifié !!
Merci de me répondre ^^

darkpseudo a écrit:

Juste un petit eclairessissement , le nombre avec lequel on travail n'est il pas le nombre d'or ??

Tout à fait. est le nombre d'or.

darkpseudo a écrit:

si oui alors tout les nombre appartiennent a la suite de fibonnaci et la question est déja vérifié !!

Quelle question ?
Il s'agit ici de prouver que tous les entiers naturels non nuls peuvent s'écrire d'une manière unique (à l'ordre de la commutativité de l'addition près), comme une somme de puissances distinctes de et de

Oui c'est ce que je voulais savoir merci ^^'

Othmaann a écrit:

Euh pour un peu d'eclaircissement :
Que représente exactement la propriété P(n) ?

Il serait violent si l'on tentait de traduire verbalement la signification de P(n), et ça ne serait pas non plus tentant à connaître. Je vais donc me borner à l'explication suivante :
L'objectif de l'exercice était de prouver que était vraie. Mais cette proposition n'est pas facile à appréhender. On a donc introduit la proposition P(n), qui est plus "faible", mais plus facile à démontrer. Ensuite, de la véracité de P(n), on en a déduit celle de . La proposition P(n) n'était finalement qu'une passerelle.

Pour le Jopsm 10, exellent le sujet, le problème 1 est facile, le deux, pas vraiment si diffcille de sortes que personnes ne l'as fais, le troisième n'est pas vraiment facile, j'ai vu le sujet aujourd'hui matin, ma solution était presque la même chose qu'a fais Dijkschneier j'essaie encore de trouver une autre solution,
N.B: il faut toujours determiner le cas d'égalité.

P.S: je crois que sylphean a proposé un sujet facile pour que tout le monde participe bonne chance!
J'epère que j'aurais de la chance pour participer a l'un des Test de Dijkschneier.

JOPSM 11:
exo 3 :
d'apres l'IAG on aura : a^5+b^5+ab>= 3(ab)²>=3ab
alors ab/a^5+b^5+ab =< 1/3 (*)
donc bc/b^5+c^5+bc=< 1/3 (**)
et ac/a^5+c^5+ac =< 1/3 (***)
en sommant (*)et (**) et (***) on trouveras que :
ab/a^5+b^5+ab + bc/b^5+c^5+bc + ac/a^5+c^5+ac =<1/3+1/3+1/3=1

deuxieme methode:
a^5+b^5 = (a+b)((a-b)(a^3-b^3)+a²b²)>= (a+b)(ab)²
donc ab/a^5+b^5+ab =< ab/(a+b)a²b²+ab = c/a+b+c
avec la meme facon on vas distinguer les autres inegalite pour avoir que : ab/a^5+b^5+ab + bc/b^5+c^5+bc + ac/a^5+c^5+ac =< c/a+b+c +a/a+c+b + b/a+c+b =a+b+c/a+b+c = 1
d'ou la conclusion ...

master a écrit:

JOPSM 11:
d'apres l'IAG on aura : a^5+b^5+ab>= 3(ab)²>=3ab

Pourquoi ?

d'apres IAG a^5+b^+ab >= 3(a^5.b^5.ab)^1/3=3((ab)^6)^1/3 = 3(ab)^6/3=3(ab)²
puisque on a (ab)²>=ab alors en pultipliant avec 3 :
3(ab)²>= 3ab

master a écrit:

d'apres IAG a^5+b^+ab >= 3(a^5.b^5.ab)^1/3=3((ab)^6)^1/3 = 3(ab)^6/3=3(ab)²
puisque on a (ab)²>=ab alors en pultipliant avec 3 :
3(ab)²>= 3ab

3(ab)²>= 3ab est juste si et seulement ab >= 1

mais si on donne que ab=0 0=<0 ce qui est vrais ?????