UN SUJET: Limites compliqués

Salam alaykoum
ici je vais poster des limites surtout le type général de n
premier limite:

pour moi j'ai les réponses, juste c'est pour vous! alors je veut pas le genre de posts (tu va utilisé ...)
si tu veux partagé ta réponse Mrhba si nn chrché un autre sujet!

on sait que



merci pour vos remarques

merci

salut bazzou
pour ta question c'est juste savoir lim qd x-->0 de (1-cosx)/x²
on a
(1) 1-cos(x)*cos²(x)*..;cos^n(x)=1-cos^(n(n+1)/2)(x)
=(1-cos(x))(sigma(k=0-->n(n+1)/2-1)cos^k(x))
et on a lim(1-cos(x))/x²)=1/2
alors lim(1)/x²=1/2*n(n+1)/2 =n(n+1)/4
done

BJR Pedro thunder !!

J'ai une petite observation à faire concernant ta réponse ci-dessus ...... Tu as tout à fait le Droit de remplacer x par 2x ....
MAIS tu ne peux pas écrire :
Lim f(x) = Limf(2x) lorsque x -----> 0

SAUF si tu justifies par un autre procédé que la première Limite existe bien ......
Ce type d'erreur a été commis il n'y a pas longtemps au sujet d'une autre limite ICI même :

https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/limite-complique-t15640.htm#132256

LHASSANE

Salut,



On peut aussi le démontrer par récurrence ou bien avec l'Hôpital ou encore avec une autre méthode un peu tirée par les cheveux en ajoutant et en soustrayant Cos(x) dans le numérateur et en factorisant puis en utilisant la même méthode à plusieurs reprises.
Voilà. Au plaisir.

BJR à Toutes et Tous !!

En fait kobika , puis mizmaz ont répondu CORRECTEMENT à la question !! Cependant , je me pose la question suivante :

et si on changait la fonction dont on cherche la LIMITE lorsque x tend vers ZERO ainsi :
f(x)=N(x)/D(x) avec
N(x)=1 - COS(x).COS(2x).COS(3x).......... COS(nx)
et D(x)=x^2

Cette LIMITE est dans Al-Moufid BACSM ( Terminales ) .....

Bonne Chance et Excusez mon intrusion .....

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!

En fait kobika , puis mizmaz ont répondu CORRECTEMENT à la question !! Cependant , je me pose la question suivante :

et si on changait la fonction dont on cherche la LIMITE lorsque x tend vers ZERO ainsi :
f(x)=N(x)/D(x) avec
N(x)=1 - COS(x).COS(2x).COS(3x).......... COS(nx)
et D(x)=x^2

Cette LIMITE est dans Al-Moufid BACSM ( Terminales ) .....

Bonne Chance et Excusez mon intrusion .....

LHASSANE

Bah oui, et tu utilises la règle de l'Hôpital par la suite.

Autre limite du même type, mais plus corsée :

oussama1305 a écrit:

Autre méthode:


Ce qui donne :

Euh...c'est faux, je pense. Déjà
Après, je ne vois pas comment tu es passé de la première étape à la deuxième. XD

salut Oeil_de_Lynx
on a (1) 1-COS(x)COS(2x)..COS(nx)
=(1-COS(x))+COS(x)(1-COS(2x))+COS(x)COS(2x)(1-COS(3x))
+...(COS(x)..COS((n-1)x))(1-COS(nx))
donc lim (1)/x²=1/2 +1/2*4+...+1/2*n²=1/2*n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/12
done

BSR kobica !!

Oui tout à fait Juste !! BRAVO !
Détaillez un peu plus les étapes ....

LHASSANE

oussama1305 a écrit:

Autre limite du même type, mais plus corsée :

On peut aussi soupçonner le résultat après avoir développé un peu la limite puis le confirmer par récurrence.
(Pour développer :

)

Re-BSR à Vous !!!

Je vois que oussama1305 a reposé la même LIMITE que celle que j'ai proposée auparavant .........

Je vous suggère de procéder ainsi :

1) Montrer par récurrence sur n >=1 que la LIMITE en question existe ; on l'appellera An puisqu'elle dépend de n seul ....

2) En même temps et en écrivant :
1-cos(x).cos(2x) ...... cos((n+1).x)
=1-cos(n+1)x) + cos((n+1)x).{1-cosx.cos(2x) ..... cos(nx)}
établir que l'on a A(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + An

3) En déduire alors l'expression :
An=(1/2).{1^2 + 2^2 + 3^2 + ..... + n^2}=.......

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Re-BSR à Vous !!!

Je vois que oussama1305 a reposé la même LIMITE que celle que j'ai proposée auparavant .........

Je vous suggère de procéder ainsi :

1) Montrer par récurrence sur n >=1 que la LIMITE en question existe ; on l'appellera An puisqu'elle dépend de n seul ....

2) En même temps et en écrivant :
1-cos(x).cos(2x) ...... cos((n+1).x)
=1-cos(n+1)x) + cos((n+1)x).{1-cosx.cos(2x) ..... cos(nx)}
établir que l'on a A(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + An

3) En déduire alors l'expression :
An=(1/2).{1^2 + 2^2 + 3^2 + ..... + n^2}=.......

LHASSANE

Oui, voilà, c'est tout-à-fait ce à quoi j'ai pensé.

Oeil_de_Lynx a écrit:

Re-BSR à Vous !!!

Je vois que oussama1305 a reposé la même LIMITE que celle que j'ai proposée auparavant .........

Je vous suggère de procéder ainsi :

1) Montrer par récurrence sur n >=1 que la LIMITE en question existe ; on l'appellera An puisqu'elle dépend de n seul ....

2) En même temps et en écrivant :
1-cos(x).cos(2x) ...... cos((n+1).x)
=1-cos(n+1)x) + cos((n+1)x).{1-cosx.cos(2x) ..... cos(nx)}
établir que l'on a A(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + An

3) En déduire alors l'expression :
An=(1/2).{1^2 + 2^2 + 3^2 + ..... + n^2}=.......

LHASSANE

Excusez le petit malentendu, j'étais un peu fatigué hier
Pour me repulper, une autre très facile

oussama1305 a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

Re-BSR à Vous !!!

Je vois que oussama1305 a reposé la même LIMITE que celle que j'ai proposée auparavant .........

Je vous suggère de procéder ainsi :

1) Montrer par récurrence sur n >=1 que la LIMITE en question existe ; on l'appellera An puisqu'elle dépend de n seul ....

2) En même temps et en écrivant :
1-cos(x).cos(2x) ...... cos((n+1).x)
=1-cos(n+1)x) + cos((n+1)x).{1-cosx.cos(2x) ..... cos(nx)}
établir que l'on a A(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + An

3) En déduire alors l'expression :
An=(1/2).{1^2 + 2^2 + 3^2 + ..... + n^2}=.......

LHASSANE

Excusez le petit malentendu, j'étais un peu fatigué hier
Pour me repulper, une autre très facile

Sauf erreur. xD
Au plaisir !
Edit : Corrigé.

Regarde le passage de la troisième à la quatrième étape, t'a oublié un +1.

Ah ouiii ! >________<
Excuse, le matin. :-°
1/2 alors. ^^

Rien à dire.
Poste-en une autre, toi qui est matinal

Voilà :

bonjour
on a une limite pareille dans notre DM mais c po la meme!!
en fait j'ai utlisié 2 méthodes:
la 1ere consiste sur la regle de l'hospital et qui donne vraiment comme limite 2a/pi
or jé cherché une autre méthode jé trouvé ceci

on donne f(x)=cos(pi.x/2a)

conclure ke la limte est bien 2a/pi

Ou bien :
Pose h=x-a
x --> a <=> h --> 0



Conclusion :

Sylphaen a écrit:

Ou bien :
Pose h=x-a
x --> a <=> h --> 0



Conclusion :

c'est po ckyé demandé sylphaen
ya tan(a.pi/2x) et je pense po ke sa peu etre traité de telle maniere vu ke tu ora po comme sa le h ki tend vers 0 ...
A+

Tiens, je me demande si la généralisation suivante est correcte :