Préparation pour le troisième tour d'olympiade:

*pour le septième: (1-Vy)²>=0
alors: 1+(1/y)>=2/Vy
d'ou: Vx(1+1/y)>=2Vx/Vy
de la même façon :Vy(1+1/x)>=2Vy/Vx
donc: Vx(1+1/y)+Vy(1+1/x)>=(2x+2y)/V(xy)
et puisque: (2x+2y-4V(xy))/V(xy)=(2(Vx-Vy)²)/V(xy)
alors: (2x+2y)/V(xy)-4>=0
donc: (2x+2y)/Vxy>=4
ce qui implique: Vx(1+1/y)+Vy(1+1/x)>=4
*pour le douzième:
On a : ABCD un rectangle et E et G appartiennent respectivement à [AC]et [AB]
Et: (EG)L(AB)
Alors,selon le théo de Thales,on a :AG/AB=AE/AC
alors: AG=(AE*AB)/AC
et puisque:AE=AB
alors: AG=AB²/AC
de la meme façon,on obtiendra: FH=BC²/AC
AG+FH=(AB²+AC²)/AC
puisque:ABC est un triangle rectangle en B
alors: AB²+BC²=AC²
on obtient: AG+FH=AC²/AC=AC
Sauf erreur

Pour le 4:
Après avoir dessiné la bonne figure,
On a ACC1C2 un carré.
Donc AC2=AC.
Et on a AC2=AB.
Donc AC=AB.==>(1)
De la même manière, on prouve que: AB2=AC2.==>(2)
On a CAC2=BAB2=90°. (angles)
Donc CAC2+CAB=BAB2+CAB. (angles)
Donc C2AB=B2AC. (angles)==>(3)
De 1, 2, et 3, il résulte que les triangles C2AB et CAB2 sont isométriques.
Donc les mesures de leurs angles juxtaposés sont égaux.
Donc ABC2=ACB2. (angles)==>(4)
D'autre part, on a AB2=AC.
Donc le triangle ACB2 est isocèle en A.
Donc ACB2=AB2C. (angles)==>(5)
De 4 et 5, on conclut que ABC2=AB2C.
Soit en réalité ABS=AB2S.
Donc le quadrilatère AB2BS est inscriptible.
On a B2SB=BAB2 (angles) car ils sont deux angles interceptant le même arc [B2B].
Comme BAB2 est un carré, BAB2=90°. (angle)
Enfin BSB2=90°. (angle)
On a C, S, et B2 des points allignés.
Donc CSB2=180°. (angle)
Donc CSB+BSB2=180°. (angles)
Donc CSB+90°=180°. (angle)
Donc CSB=90°. (angle)
Ce qu'il fallait démonterer en un premier temps.
On a CSB+BSB2=180°. (angles)
Donc CSB+BSB1+B1SB2=180°. (angles)
Et puisque B2SB1=C1SC (angles) car ils sont juxtaposés à tête.
Donc CSB+C1SC+B1SB2=180°. (angles)
Donc C1SB1=180°. (angle)
Donc les points C1, S, et B1 sont allignés.
Ce qu'il fallait démonterer en un second temps.
CQFD.

W.Elluizi a écrit:

*pour le septième: (1-Vy)²>=0
alors: 1+(1/y)>=2/Vy
d'ou: Vx(1+1/y)>=2Vx/Vy
de la même façon :Vy(1+1/x)>=2Vy/Vx
donc: Vx(1+1/y)+Vy(1+1/x)>=(2x+2y)/V(xy)
et puisque: (2x+2y-4V(xy))/V(xy)=(2(Vx-Vy)²)/V(xy)
alors: (2x+2y)/V(xy)-4>=0
donc: (2x+2y)/Vxy>=4
ce qui implique: Vx(1+1/y)+Vy(1+1/x)>=4
*pour le douzième:
On a : ABCD un rectangle et E et G appartiennent respectivement à [AC]et [AB]
Et: (EG)L(AB)
Alors,selon le théo de Thales,on a :AG/AB=AE/AC
alors: AG=(AE*AB)/AC
et puisque:AE=AB
alors: AG=AB²/AC
de la meme façon,on obtiendra: FH=BC²/AC
AG+FH=(AB²+AC²)/AC
puisque:ABC est un triangle rectangle en B
alors: AB²+BC²=AC²
on obtient: AG+FH=AC²/AC=AC
Sauf erreur

Bien joué. Tu veux dire de AG+FH=(AB²+AC²)/AC, AG+FH=(BC²+AB²)/AC, faute de frappe
En attendant de vos participation avec vos propres methodes des exercises non faites.

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:
Premiére cas:
p et q sont des nombres naturels premiérs tel que: (p+1)^q soit un carré parfait d'un nombre naturel biensur.

Et:


.
.
.



2éme cas:


Exemple de ce que je veux dire par le 2éme cas:
q=7=> Il faut que: p+1=7 pour que: (p+1)^q=a'^2 =>p=6
Il faut que p+1 soit pair de tout q£N*-{1,2,3}, puisque:P impair d'aprés les donnés.
On a: P pair de tout x>3. Ce qui est absurde. Donc 2=<q=<3

CQFD.

En fait, il y a une partie qui est juste, o.5 point pour l'effort.
p est un entier quelquonque et q=2.
2 est bien sûr premier.
L'autre cas est où q#2.
Donc q est impair.
Dans ce cas c'est p+1 qui est un carré parfait.
Posons p+1=a^2.
Donc p=a^2-1.
Donc p=(a-1)(a+1).
Les diviseurs de p sont p et 1 avec p>=2.
On sait que a+1>=a-1.
Donc p=a+1 et 1=a-1.
Donc a=2 et p=2+1.
Donc p=3.
2 est bien sûr premier.
Ce sont les deux cas possibles.
Amicalement.

M.Marjani a écrit:

nmo: 2.5 pts
M.Marjani:2 pts
Sylphaen:1 pts
Louis: 1pts
En attendant de vos participation.
Au plaisir

Maintenant, on a:
M.Marjani:3.5 pts.
nmo: 3.5 pts.
Sylphaen:1 pt.
Louis: 1pt.
E.Elluizi: 1pt.
Bonne chance, le jeu n'est pas encore terminé.

[quote="nmo"]

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:
Premiére cas:
p et q sont des nombres naturels premiérs tel que: (p+1)^q soit un carré parfait d'un nombre naturel biensur.

Et:


.
.
.



2éme cas:


Exemple de ce que je veux dire par le 2éme cas:
q=7=> Il faut que: p+1=7 pour que: (p+1)^q=a'^2 =>p=6
Il faut que p+1 soit pair de tout q£N*-{1,2,3}, puisque:P impair d'aprés les donnés.
On a: P pair de tout x>3. Ce qui est absurde. Donc 2=<q=<3

CQFD.

En fait, il y a une partie qui est juste, o.5 point pour l'effort.
p est un entier quelquonque et q=2.
2 est bien sûr premier.
L'autre cas est où q#2.
Donc q est impair.
Dans ce cas c'est p+1 qui est un carré parfait.
Posons p+1=a^2.
Donc p=a^2-1.
Donc p=(a-1)(a+1).
Les diviseurs de p sont p et 1 avec p>=2.
On sait que a+1>=a-1.
Donc p=a+1 et 1=a-1.
Donc a=2 et p=2+1.
Donc p=3.
2 est bien sûr premier.
Ce sont les deux cas possibles.
Amicalement.

C'est faux Mr nmo. (p+1)^q qui est le carré parfait
Regarde bien l'énoncé. N'oublie pas que q peut prendre d'autres nombres >2
+ q>=2 plutot, car q est premier.

[quote="M.Marjani"]

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

[quote="M.Marjani"][quote="nmo"]

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

En fait, il y a une partie qui est juste, o.5 point pour l'effort.
p est un entier quelquonque et q=2.
2 est bien sûr premier.
L'autre cas est où q#2.
Donc q est impair.
Dans ce cas c'est p+1 qui est un carré parfait.
Posons p+1=a^2.
Donc p=a^2-1.
Donc p=(a-1)(a+1).
Les diviseurs de p sont p et 1 avec p>=2.
On sait que a+1>=a-1.
Donc p=a+1 et 1=a-1.
Donc a=2 et p=2+1.
Donc p=3.
2 est bien sûr premier.
Ce sont les deux cas possibles.
Amicalement.

Oui, dans le deuxiéme cas p+1=a'², c'est ça ce que je veux dire, si t'as regarder bien ma réponse tu vas remarquer que: p+1=a'²

quote]

On a p#2 car on a déja étudier ce cas, taa première démonstratio.
Ensuite 0 n'est pas premier, ainsi que 1
Donc p>2.

[quote="nmo"]

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

Si, si Mr, q=3 et p=3 sont les solutions dans le cas ou q=3, et q=3 est un cas particulier si t'as bien vu ma réponse.
Sinon donne moi un contre exemple.

nmo a écrit:

On a p#2 car on a déja étudier ce cas, taa première démonstratio.
Ensuite 0 n'est pas premier, ainsi que 1
Donc p>2.

Oui, tu sais que sin on continue de ce que t'as dis dans le deuxiéme cas, on vas trouver que les solutions impair q,p: seront q=3, et p=3 puisque p+1=a'² <=> 2=<q=<3, car on va trouver P pair de tout p>3

M.Marjani, tu as fait un effort honorable.
C'est pour cela que tu mérites 0.5 point, même si la démonstration n'est pas rigoureuse, et laisse les autres critiquer.
Passons à un autre exercice.
Il ne reste que trois exercices avant la fin.
Bonne chance.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:
Premiére cas:
p et q sont des nombres naturels premiérs tel que: (p+1)^q soit un carré parfait d'un nombre naturel biensur.

Et:


.
.
.



2éme cas:


Exemple de ce que je veux dire par le 2éme cas:
q=7=> Il faut que: p+1=7 pour que: (p+1)^q=a'^2 =>p=6
Il faut que p+1 soit pair de tout q£N*-{1,2,3}, puisque:P impair d'aprés les donnés.
On a: P pair de tout x>3. Ce qui est absurde. Donc 2=<q=<3

CQFD.

En fait, il y a une partie qui est juste, o.5 point pour l'effort.
p est un entier quelquonque et q=2.
2 est bien sûr premier.
L'autre cas est où q#2.
Donc q est impair.
Dans ce cas c'est p+1 qui est un carré parfait.
Posons p+1=a^2.
Donc p=a^2-1.
Donc p=(a-1)(a+1).
Les diviseurs de p sont p et 1 avec p>=2.
On sait que a+1>=a-1.
Donc p=a+1 et 1=a-1.
Donc a=2 et p=2+1.
Donc p=3.
2 est bien sûr premier.
Ce sont les deux cas possibles.
Amicalement.

Ca veut dire que q=1 !! ? ce qui est en rouge est faux.
Non, je veux pas les pts, mais il faut qu'on disscute de tout ça.

[quote="nmo"]

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

Regarde bien que q peut avoir 3, 5, 7, 9, ... un premier quelquesoit.

[quote="nmo"]

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

Regarde bien que q peut avoir 3, 5, 7, 9, ... un premier quelquesoit.

Oui, j'ai citer ça.. mais vu que P est pair dans le deuxiéme cas quand q est premier de tout q>3. C'est pourquoi j'ai dis que q=3 et q=2 sont les seules nombres premiers qui sont des solutions.

[quote="M.Marjani"]

nmo a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

Regarde bien que q peut avoir 3, 5, 7, 9, ... un premier quelquesoit.

Oui, j'ai citer ça.. mais vu que P est pair dans le deuxiéme cas quand q est premier de tout q>3. C'est pourquoi j'ai dis que q=3 et q=2 sont les seules nombres premiers qui sont des solutions.

Maintenant, on est d'accord ou pas encore?

[quote="nmo"]

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

Regarde bien que q peut avoir 3, 5, 7, 9, ... un premier quelquesoit.

Oui, j'ai citer ça.. mais vu que P est pair dans le deuxiéme cas quand q est premier de tout q>3. C'est pourquoi j'ai dis que q=3 et q=2 sont les seules nombres premiers qui sont des solutions.

Maintenant, on est d'accord ou pas encore?

No
Car ta méthode qui consiste à: p+1=a'² dans le deuxiéme cas, c'est comme p+1=q, tout les deux donne a'²
Donne moi un contre exemple qui prouve que les solutions que j'ai trouvé sont fausses.

Bonne chance.

[quote="M.Marjani"]

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Bonjour

Pour le 14:

Amicalement.

Non mais il faut citer ou est la faute svp, car je vois nettement qu'il n'y a aucune faute. Si tu n'as pas compris quelques choses, dis moi.

Ce que je veux dire que si p=3, alors: p+1=4=2^2.
Et (p+1)^q=(2^2)^q.
Donc (p+1)^q=(2^q)^2.
Qui est un carré parfait, pas forcément q=3 ce que tu as trouvé.

Regarde bien que q peut avoir 3, 5, 7, 9, ... un premier quelquesoit.

Oui, j'ai citer ça.. mais vu que P est pair dans le deuxiéme cas quand q est premier de tout q>3. C'est pourquoi j'ai dis que q=3 et q=2 sont les seules nombres premiers qui sont des solutions.

Maintenant, on est d'accord ou pas encore?

No
Car ta méthode qui consiste à: p+1=a'² dans le deuxiéme cas, c'est comme p+1=q, tout les deux donne a'²
Donne moi un contre exemple qui prouve que les solutions que j'ai trouvé sont fausses.

Bonne chance.

Elle ne sont pas fausses, mais ils ne sont pas complètes.

nmo a écrit:

Bonne chance.

Elle ne sont pas fausses, mais ils ne sont pas complètes.[/quote]

Okey, c'est ton avis alors. ))
Bonne chance.

Pour le 11:
On veut déterminer toutes les applications f de IR vers IR telles que pour tous x et y de IR yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2).
On prend pour cela x=(1/2)a et y=(1/2)b.
On a yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2).
Donc (1/2)b*f(2*1/2*a)-(1/2)a*f(2*1/2*b)=8*b*1/2*a*1/2*b*((1/2)a)^2-((1/2)b)^2).
Donc (1/2)[b*f(a)-a*f(b)]=2ab*((1/4)a^2-(1/4)b^2).
Donc b*f(a)-a*f(b)=4ab*(1/4)(a^2-b^2).
Donc bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Prenons a=2 et b=1.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 1f(2)-2f(1)=2*1*(2^2-1^2).
Donc 1f(2)-2f(1)=2*1*(4-1).
Donc f(2)-2f(1)=2*3.
Donc f(2)-2f(1)=6.
Donc f(2)=6+2f(1).==>(1)
Prenons a=3 et b=1.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 1f(3)-3f(1)=3*1*(3^2-1^2).
Donc f(3)-3f(1)=3*(9-1).
Donc f(3)-3f(1)=3*8.
Donc f(3)-3f(1)=24.
Donc f(3)=24+3f(1).==>(2)
Prenons a=3 et b=2.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 2f(3)-3f(2)=2*3*(3^2-2^2).
Donc 2f(3)-3f(2)=6*(9-4).
Donc 2f(3)-3f(2)=6*5.
Donc 2f(3)-3f(2)=30.
Donc 2f(3)=30+3f(2).==>(3)
Prenons a=4 et b=1.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 1f(4)-4f(1)=4*1*(4^2-1^2).
Donc f(4)-4f(1)=4*(16-1).
Donc f(4)-4f(1)=4*15.
Donc f(4)-4f(1)=60.
Donc f(4)=60+4f(1).==>(4)
Prenons a=4 et b=1.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 2f(4)-4f(2)=4*2*(4^2-2^2).
Donc 2f(4)-4f(2)=8*(16-4).
Donc 2f(4)-4f(2)=8*12.
Donc 2f(4)-4f(2)=96.
Donc 2f(4)=96+4f(2).
Donc f(4)=48+2f(2).==>(5)
Prenons a=4 et b=3.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 3f(4)-4f(3)=4*3*(4^2-3^2).
Donc 3f(4)-4f(3)=12*(16-9).
Donc 3f(4)-4f(3)=12*7.
Donc 3f(4)-4f(3)=84.
Donc 3f(4)=84+4f(3).==>(6)
De 1, 2, 3, 4, 5, et 6 on résoud le système composés des équations suivantes:
f(2)=6+2f(1).
f(3)=24+3f(1).
2f(3)=30+3f(2).
f(4)=60+4f(1).
f(4)=48+2f(2).
3f(4)=84+4f(3).
On pose f(1)=m, f(2)=n, f(3)=p, et f(4)=q.
Le système devient:
n=6+2m.
p=24+3m.
2m=30+3n.
q=60+4m.
q=48+2n.
3q=84+4p.
La résolution de ce système donne clairement:
m=6, n=18, p=42, et q=84.
Soit f(1)=6.
Prenons b=1.
On a bf(a)-af(b)=ab(a^2-b^2).
Donc 1f(a)-af(1)=a*1(a^2-1^2).
Donc f(a)-a*6=a(a^2-1).
Donc f(a)-6a=a^3-a.
Donc f(a)=a^3+5a.
Même résultat trouvé en remplaçant par les autres nombres.
Réciproquement, soit f une application qui vérifie: f(a)=a^3+5a.
On a f(2x)=(2x)^3+5*2x.
Donc f(2x)=8x^3+10x.
Donc yf(2x)=8yx^3+10xy.
De même -xf(2y)=8xy^3+10xy.
Donc yf(2x)-xf(2y)=8yx^3+10xy-(8xy^3+10xy).
Donc yf(2x)-xf(2y)=8yx^3+10xy-8xy^3-10xy.
Donc yf(2x)-xf(2y)=8yx^3-8xy^3.
Donc yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2).
On conclut que la seule application qui satisfait l'énoncé est f(a)=a^3+5a.
Bien entendu f(x)=x^3+5x.
A vous de juger.

On discute à propos des solutions du système dans l'autre topic.
Merci pour la compréhension.

Après la résolution du système, je rectifie mon message.
Je ne sais pas pourquoi, mais la fonction que j'ai trouvé est juste.

nmo a écrit:

Après la résolution du système, je rectifie mon message.
Je ne sais pas pourquoi, mais la fonction que j'ai trouvé est juste.

C'est faux le systéme mr nmo ))
Bonne chance à toi.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Après la résolution du système, je rectifie mon message.
Je ne sais pas pourquoi, mais la fonction que j'ai trouvé est juste.

C'est faux le systéme mr nmo ))
Bonne chance à toi.

Y-a-t-il une faute à laquelle je n'ai pas fait attention?