Préparation pour le troisième tour d'olympiade:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Après la résolution du système, je rectifie mon message.
Je ne sais pas pourquoi, mais la fonction que j'ai trouvé est juste.

C'est faux le systéme mr nmo ))
Bonne chance à toi.

Y a-il une faute à laquelle je n'ai pas fait attention?

J'ai vu fes fautes, mais ils ne font pas de trace, que fautes de frappe.
comme le "b" qui est ajouter par inadvertance, dans la 3éme ligne.
Apart ça je ne voit aucune faute.
Je te conseil de supprimer quelques étapes, tu peux voir une autre methode pour trouver un autre systém
Je vais essayer à résoudre ce EX.
Bonne chance.

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).

dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1

2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Et si: f(4) ce que t'as trouvé = f(4) ce que j'ai trouvé:
On trouve que: f(1)=-75/2

Ce qui est contradictoire avec ce que t'as trouvé

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Oui, tu n'as qu'a chercher une autre methode pour le systém à mon avis (si la solution est juste).

J'ai trouvé ue faute de calcul, c'est 84 au lieu de 64.
Ainsi les solutions que j'ai donné vérifie l'équation.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Toujours ce que t'as trouvé faux:
Donc voilà comment je l'ai trouvé:
2x=4 et 2y=1
(1/2)f(4)-2f(1)=2(4- 1/4)
=> (1/2)f(4)-2f(1)=15/2
=> 2f(1)=(f(4)+15)/2
=> f(4)=2f(1)-15

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Oui, tu n'as qu'a chercher une autre methode pour le systém à mon avis (si la solution est juste).

J'ai trouvé ue faute de calcul, c'est 84 au lieu de 64.
Ainsi les solutions que j'ai donné vérifie l'équation.

Aha, le systém va étre juste je pense.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Toujours ce que t'as trouvé faux:
Donc voilà comment je l'ai trouvé:
2x=4 et 2y=1
(1/2)f(4)-2f(1)=2(4- 1/4)
=> (1/2)f(4)-2f(1)=15/2
=> 2f(1)=(f(4)+15)/2
=> f(4)=2f(1)-15

Révise bien ce qui est en rouge.
Tu as aussi omis le 8 à gauche.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Toujours ce que t'as trouvé faux:
Donc voilà comment je l'ai trouvé:
2x=4 et 2y=1
(1/2)f(4)-2f(1)=2(4- 1/4)
=> (1/2)f(4)-2f(1)=15/2
=> 2f(1)=(f(4)+15)/2
=> f(4)=2f(1)-15

Révise bien ce qui est en rouge.
Tu as aussi omis le 8 à gauche.

Ne la prend pas du sérieux, car je ne vois pas ce que j'écrai avec l'écriture informatique

Oui, cava étre f(4)=15+4f(1)
Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Toujours ce que t'as trouvé faux:
Donc voilà comment je l'ai trouvé:
2x=4 et 2y=1
(1/2)f(4)-2f(1)=2(4- 1/4)
=> (1/2)f(4)-2f(1)=15/2
=> 2f(1)=(f(4)+15)/2
=> f(4)=2f(1)-15

Révise bien ce qui est en rouge.
Tu as aussi omis le 8 à gauche.

Ne la prend pas du sérieux, car je ne vois pas ce que j'écrai avec l'écriture informatique
Oui, cava étre f(4)=15+4f(1)
Bonne chance.

On a x=2 et y=1/2.
La fonction réalise yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2).
Donc 1/2f(2*2)-2f(1/2*2)=8*2*1/2*(2^2-1/2^2).
Donc 1/2f(4)-2f(1)=8*(4-1/4).
Donc 1/2f(4)-2f(1)=8*(15/4).
Donc f(4)-4f(1)=2*8*15/4.
Donc f(4)-4f(1)=60.
Donc Donc f(4)=60+4f(1).
J'ai dit que tu as oublié le 8.
Ce qui a rendu ce que tu as dit faux.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

T'as trouvé que: f(4)=60+4f(1).
dans l'équation initial on pose: 2x=4 et 2y=1
2f(1)=f(4)+15
Ce qui donne: f(4)=2f(1)-15

Je trouve que c'est faux.

Toujours ce que t'as trouvé faux:
Donc voilà comment je l'ai trouvé:
2x=4 et 2y=1
(1/2)f(4)-2f(1)=2(4- 1/4)
=> (1/2)f(4)-2f(1)=15/2
=> 2f(1)=(f(4)+15)/2
=> f(4)=2f(1)-15

Révise bien ce qui est en rouge.
Tu as aussi omis le 8 à gauche.

Ne la prend pas du sérieux, car je ne vois pas ce que j'écrai avec l'écriture informatique
Oui, cava étre f(4)=15+4f(1)
Bonne chance.

On a x=2 et y=1/2.
La fonction réalise yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2).
Donc 1/2f(2*2)-2f(1/2*2)=8*2*1/2*(2^2-1/2^2).
Donc 1/2f(4)-2f(1)=8*(4-1/4).
Donc 1/2f(4)-2f(1)=8*(15/4).
Donc f(4)-4f(1)=2*8*15/4.
Donc f(4)-4f(1)=60.
Donc Donc f(4)=60+4f(1).
J'ai dit que tu as oublié le 8.
Ce qui a rendu ce que tu as dit faux.

Oui, t'as raison car j'avais tester quelques choses, et mon cerveau s'en alla avec: 1/2*1/2*8=2.

Les exercices restants sont:

Idriss BOUDHAR a écrit:

OLYMPIADES MATHEMATIQUES
Exercice 9 (25-11-05)
b) a, b, c, et d sont des nombres réels strictement positifs. Montrer que: a/(b+2c+d)+ b/(c+2d+a) + c/(d+2a+b) + d/(a+2b+c)>=1.
Exercice 10 (25-11-05)
ABCD est quadrilatère convexe et inscriptible tel que CD<AB et BC<AD
soit P un point du segment [AB] tel que AP=CD et soit Q un point du
segment [AD] tel que AQ=BC. Les droites (AC) et (PQ) se coupent en M.
Montrer que M est le milieu de [PQ].

Le classement maintenant:
nmo: 4.25 pts.
M.Marjani:3.5 pts.
Sylphaen:1 pt.
Louis: 1pt.
E.Elluizi: 1pt.
Bonne chance.

nmo a écrit:

Les exercices restants sont:

Idriss BOUDHAR a écrit:

OLYMPIADES MATHEMATIQUES
Exercice 9 (25-11-05)
b) a, b, c, et d sont des nombres réels strictement positifs. Montrer que: a/(b+2c+d)+ b/(c+2d+a) + c/(d+2a+b) + d/(a+2b+c)>=1.
Exercice 10 (25-11-05)
ABCD est quadrilatère convexe et inscriptible tel que CD<AB et BC<AD
soit P un point du segment [AB] tel que AP=CD et soit Q un point du
segment [AD] tel que AQ=BC. Les droites (AC) et (PQ) se coupent en M.
Montrer que M est le milieu de [PQ].

Le classement maintenant:
nmo: 4 pts.
M.Marjani:3.5 pts.
Sylphaen:1 pt.
Louis: 1pt.
E.Elluizi: 1pt.
Bonne chance.

Tu mérite que 0.5 pts donc pour l'effort
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/un-systeme-t15917.htm

Quand tu trouve le juste systéme tu prend ta 1pts méme si la méthode est trés longue.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Les exercices restants sont:

Idriss BOUDHAR a écrit:

OLYMPIADES MATHEMATIQUES
Exercice 9 (25-11-05)
b) a, b, c, et d sont des nombres réels strictement positifs. Montrer que: a/(b+2c+d)+ b/(c+2d+a) + c/(d+2a+b) + d/(a+2b+c)>=1.
Exercice 10 (25-11-05)
ABCD est quadrilatère convexe et inscriptible tel que CD<AB et BC<AD
soit P un point du segment [AB] tel que AP=CD et soit Q un point du
segment [AD] tel que AQ=BC. Les droites (AC) et (PQ) se coupent en M.
Montrer que M est le milieu de [PQ].

Le classement maintenant:
nmo: 4 pts.
M.Marjani:3.5 pts.
Sylphaen:1 pt.
Louis: 1pt.
E.Elluizi: 1pt.
Bonne chance.

Tu mérite que 0.5 pts donc pour l'effort
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/un-systeme-t15917.htm
Quand tu trouve le juste systéme tu prend ta 1pts méme si la méthode est trés longue.

Comme tu veux:
Le classement est:
nmo: 4 pts.
M.Marjani:3.5 pts.
Sylphaen:1 pt.
Louis: 1pt.
E.Elluizi: 1pt.
Bonne chance.

Exercice 9 (25-11-05)
b) a, b, c, et d sont des nombres réels
strictement positifs. Montrer que: a/(b+2c+d)+ b/(c+2d+a) + c/(d+2a+b)
+ d/(a+2b+c)>=1.

D'après la lemme prouvée on a :
pour tous u,v,x,y on a :

En appliquant cette lemme il vient que :

De là il vous suffit de prouver que :


D'où la conclusion ..
Egalité si a=c et b=d ..

Pour l'éxercise 11:

Voilà ma methode que j'ai l'introduis 2 jours avant, mais il ma manqué un systéme c'est pourquoi j'ai supprimer le poste:

yf(2x)-xf(2y)=8xy(x²-y²)

Prenons: 2x=1 et 2y=2
Donc: f(1)-(1/2)f(2)=4(1/4 -1)
=> f(1)-1/2f(2)=-3 => f(1)=f(2)/2 -3 (1)
Prenons: x=2 et y=1
=> f(2)=[f(4)-48]/2 (2)
Prenons: 2x=4 et 2y=1
=> f(1)=[(f(4)-60]/4 (3)

De (1) et (2) et (3) on déduit le systéme suivant:
Posons: x=f(1) ; y=f(2) ; z=f(4)
x=(y-6)/2
y=(z-48)/2
x=(z-60)/4

Les solutions du systéme dans |R^3: {x=-1;y=4;z=56}
Ce qui veut dire: f(2)=4 ; f(4)=56 ; f(1)=-1

Revenons donc dans ce qui est en bleu:
on pose: 2x=4, dans l'equation initial:
yf(4)-2f(2y)=16y(4-y²)
yf(4)-2f(2y)=64y-16y^3
On a: f(4)=56 <=> 56y-64y=-16y^3 +2f(2y)
=> -8y+16y^3=2f(2y)
=> f(2y)=-4y+8y^3
Posons: 2y=X
On trouve que: f(X)=-2X+8*(x^3)/8
=> f(X)=-2X+X^3

(عكسيا) on a: f(x)=-2x+x^3
On a: f(2x)=-4x+8x^3
=> yf(2x)=-4xy+8x^3y
De meme façon on a: xf(2y)=-4yx+8y²x
=> yf(2x)-xf(2y)=8xy(x²-y²)

Réciproquement la fonction f(x)=x^3+-2x vérifie les données ..
CQFD.

La solution de votre équation fonctionelle est :
f(x)=x^3+ax
Avec a £ IR .
C'est simple en effet :
y=1 ,X=x/2 :f(x)=4x(x²/4 -1)+x/2 .f(2) =x^3+ x (f(2)/2-4)
Puisque f(2) est constante on peut écrire f(x) sous la forme que j'ai cité au début ..
Réciproquement la fonction f(x)=x^3+ax / a £ IR vérifie les données ..

M.Marjani a écrit:

Pour l'éxercise 11:

Voilà ma methode que j'ai l'introduis 2 jours avant, mais il ma manqué un systéme c'est pourquoi j'ai supprimer le poste:

yf(2x)-xf(2y)=8xy(x²-y²)

Prenons: 2x=1 et 2y=2
Donc: f(1)-(1/2)f(2)=4(1/4 -1)
=> f(1)-1/2f(2)=-3 => f(1)=f(2)/2 -3 (1)
Prenons: x=2 et y=1
=> f(2)=[f(4)-48]/2 (2)
Prenons: 2x=4 et 2y=1
=> f(1)=[(f(4)-60]/4 (3)

De (1) et (2) et (3) on déduit le systéme suivant:
Posons: x=f(1) ; y=f(2) ; z=f(4)
x=(y-6)/2
y=(z-48)/2
x=(z-60)/4

Les solutions du systéme dans |R^3: {x=-1;y=4;z=56}
Ce qui veut dire: f(2)=4 ; f(4)=56 ; f(1)=-1

Revenons donc dans ce qui est en bleu:
on pose: 2x=4, dans l'equation initial:
yf(4)-2f(2y)=16y(4-y²)
yf(4)-2f(2y)=64y-16y^3
On a: f(4)=56 <=> 56y-64y=-16y^3 +2f(2y)
=> -8y+16y^3=2f(2y)
=> f(2y)=-4y+8y^3
Posons: 2y=X
On trouve que: f(X)=-2X+8*(x^3)/8
=> f(X)=-2X+X^3
D'ou ta réponse Mr nmo demeure fausse.
CQFD.

Le système que tu as trouvé n'est que deux équation en réalité.
les systèmes présentés par nous sont insuffisants je pense.
Ainsi ma solution n'est pas fausse.
Toi aussi 0.5 point.
Mais la solution de sylphaen semble juste, il faut qu'il la démontre bien sûr.

[quote="nmo"]

M.Marjani a écrit:

Pour l'éxercise 11:

Le système que tu as trouvé n'est que deux équation en réalité.
les systèmes présentés par nous sont insuffisants je pense.
Ainsi ma solution n'est pas fausse.
Toi aussi 0.5 point.
Mais la solution de sylphaen semble juste, il faut qu'il la démontre bien sûr.

Infinité d'equations je pense; car j'ai fais une methode pour trouver les solutions, j'ai commencé par trouvé f(2)=4, et j'ai déduit f(4)..
Maintenant je cherche la methode dans le cahier :s

Il n'y a rien de plus à démontrer puisque f(2) est constante alors il existe un a de IR t.q f(2)/2 -4 =a
Puis on écrit l'équation comme demandé .

Oui, c'est clair Mr Sylphaen, et nos methodes présentés par moi et Mr nmo montre ce que t'as trouvé.
Pour le dérnier EX, chacun donne sa methode, meme si quelqu'un répond le premier Ok?

nmo: 4 pts.
M.Marjani:4 pts.
Sylphaen:1.5 pt.
Louis: 1pt.
E.Elluizi: 1pt.
Bonne chance

Pour l'EX11 :



A vous de juger.

D'ou on a trouvé Mr nmo un seul cas particulier parmi l'infinité des fonctions

Je mérite un point non ? :O