2010

exercice:

Trouver toutes les listes d'entiers consécutifs dont la somme vaut 2010 ?

...........................

soient (p, q) £ IN²
si on pose:
2010 = P+P+1+...+q-1+q , alors ta question est equivalente a résoudre l'equation diophantienne suivante :
(q-p+1)(q+p) = 4020.
to be continued :p

houssa a écrit:

exercice:

Trouver toutes les listes d'entiers consécutifs dont la somme vaut 2010 ?

...........................

Je n'ai pas bien compri ce qui est demandé.

salam

une liste d'entiers consécutifs:

a,a+1,a+2, ......................, a+n

on cherche a et n de façon que : a+(a+1)+(a+2)+..........+(a+n) = 2010.

.................................................

c'est ce qu'a commencé à faire maxima .

.......................................................

houssa a écrit:

on cherche a et n de façon que : a+(a+1)+(a+2)+..........+(a+n) = 2010.

celà est équivalent à 2an+n(n+1)=4020 <=> n(2a+n+1)=4020
et on résoud (même si c un peu long )
SAUF ERREUR

@tarask := c 2(n+1)a+n(n+1) = 4020

ah oui t'as raison
en tout cas ma méthode n'est pas du tout efficace !!!
j'attends quelque chose de meilleur !

a+(a+1)+(a+2)+..........+(a+n) = 2010.
=> a+(an)+(1+2+3+...+n)=2010
=> a+an+(1/2)*n(n+1)=2010
=> a(n+1)+(1/2)*n(n+1)=2010
=> (n+1)(a+(n/2))=2010
=> (n+1)(2a+n)=4020

Si n=2k+1 => 2(k+1)(2(a+k)+1)=4020 => (k+1)(2(a+k)+1)=2010

Si n=2k => 2(2k+1)(a+k)=4020 => (2k+1)(a+k)=2010

(k+1)(2(a+k)+1)=(2k+1)(a+k) => 2(k+1)(a+k)+k+1 -(a+k)(2k+1)=0
=> (a+k)(2(k+1)-2k-1)+k+1=0
=> (a+k)+k+1=0 ==> Absurde..

Merçi.

Bonne vacance !

je crois qu'il y a une faute !
c'est pas 1005 c'est 4020 !!!

tarask a écrit:

je crois qu'il y a une faute !
c'est pas 1005 c'est 4020 !!!

xD

Bonne remarque Tarask, tu sais que je ne suis pas bien conscentrer. Je vois qu'il n'existe aucun liste.
C'est réctifier.

Sinon, et pour rendre la methode courte, on peut faire:

Si n=2k+1 => 2(k+1)(2(a+k)+1)=4020 => (k+1)(2(a+k)+1)=2010
Si n=2k => 2(2k+1)(a+k)=4020 => (2k+1)(a+k)=2010

Et donc: 2k=2k+1 => 0=1 ==> Absurde.

J'attend vos remarques.
Bonne chance !

M.Marjani a écrit:

Sinon, et pour rendre la methode courte, on peut faire:

Si n=2k+1 => 2(k+1)(2(a+k)+1)=4020 => (k+1)(2(a+k)+1)=2010
Si n=2k => 2(2k+1)(a+k)=4020 => (2k+1)(a+k)=2010

Et donc: 2k=2k+1 => 0=1 ==> Absurde.

J'attend vos remarques.
Bonne chance !

quand on dit SI c.à.d le ou donc on ne peut pas faire ce que tu viens de faire :p

tarask a écrit:

M.Marjani a écrit:

Sinon, et pour rendre la methode courte, on peut faire:

Si n=2k+1 => 2(k+1)(2(a+k)+1)=4020 => (k+1)(2(a+k)+1)=2010
Si n=2k => 2(2k+1)(a+k)=4020 => (2k+1)(a+k)=2010

Et donc: 2k=2k+1 => 0=1 ==> Absurde.

J'attend vos remarques.
Bonne chance !

quand on dit SI c.à.d le ou donc on ne peut pas faire ce que tu viens de faire :p

Les deux cas sont justes, sinon l'un de deux est absurde.

M.Marjani a écrit:

tarask a écrit:

M.Marjani a écrit:

Sinon, et pour rendre la methode courte, on peut faire:

Si n=2k+1 => 2(k+1)(2(a+k)+1)=4020 => (k+1)(2(a+k)+1)=2010
Si n=2k => 2(2k+1)(a+k)=4020 => (2k+1)(a+k)=2010

Et donc: 2k=2k+1 => 0=1 ==> Absurde.

J'attend vos remarques.
Bonne chance !

quand on dit SI c.à.d le ou donc on ne peut pas faire ce que tu viens de faire :p

Les deux cas sont justes, sinon l'un de deux est absurde.

Je pense que tarask a raison , tu as supposé que c'est juste , et tu est arrivé a une formule , et puis tu as supposé que la seconde est juste et tu est arrivé a une formule , mais qui nous dit que l'une des deux est fausse et que l'autre est juste ?! J'esper que tu as compris ce que je veux dire ^^

salam

je pense que vous compliquez trop les choses

---------------------------

d'après le début ( marjani)

(n+1)(2a+n) = 4020

1) ===> (n+1) et (2a+n) sont deux diviseurs complémentaires de 4020

2) ===> (n+1) et (2a+n) sont de parités différentes

----------------------------------------

exemple : n+1 = 5 et 2a+n = 804 ====> n=4 et a =400

la liste correspondante : 400-401-402-403-404

-------------------------------------------------------

cas non valable : n+1 = 10 et 2a+n = 402

====>n = 9 et 2a = 397 absurde

................................................

houssa a écrit:

salam

je pense que vous compliquez trop les choses

---------------------------

d'après le début ( marjani)

(n+1)(2a+n) = 4020

1) ===> (n+1) et (2a+n) sont deux diviseurs complémentaires de 4020

2) ===> (n+1) et (2a+n) sont de parités différentes

----------------------------------------

exemple : n+1 = 5 et 2a+n = 804 ====> n=4 et a =400

la liste correspondante : 400-401-402-403-404

-------------------------------------------------------

cas non valable : n+1 = 10 et 2a+n = 402

====>n = 9 et 2a = 397 absurde

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Bonjour Mr Houssam

Oui, c'est ça.. j'ai pas eu le temps de compléter, je trouve que c'est une bonne methode pour conclure.

Bn chance.

Oui je vois que Marjani a donné une solution claire et facile, et je crois qu'il a tout juste j'ai utilisé de la meme facon et j'ai trouvé deux résultats mais tous les deux absurdes.

Donc conclusion aucune liste d'entiers naturels dont la somme est 2010 existe

Au plaisir

Mehdi.O a écrit:

Oui je vois que Marjani a donné une solution claire et facile, et je crois qu'il a tout juste j'ai utilisé de la meme facon et j'ai trouvé deux résultats mais tous les deux absurdes.

Donc conclusion aucune liste d'entiers naturels dont la somme est 2010 existe

Au plaisir

dsl de vous décevoir Mehdi mais, même si la méthode de Marjani est bonne, elle n'est pas juste je vais te donner un exemple:
Parfois on différencie les cas comme ça :
si x>1:......
si x=<1:....
peux-tu vraiment les additionner ?

Amicalement

Ahh je vois mais quand je l'ai lu j'ai cru que c'était la bone parce qu'il n'a pas traité des cas .
On sait tous que un entier naturel est soit pair ou impair
Alors ...

je vois que vous ne me comprenez pas Mehdi !
oui j'ai même dit que la méthode de Marjani est bonne (pk il a traité les cas de parité ) mais ces cas sont séparés avec un OU exclusif qui ne permet pas d'addition !
j'espère que j'ai clarifié mon idée , sinon comme a dit M.Houssa on a trop compliqué les choses

Ahhh uéé dsl faute d'inattention ...
C'est une addition c'est pour ça.
Sinon vous avez une méthode à nous proposer ... ?

Amicalement

j'avais hier pensé à kk chose un tout petit peu différente !
je vais la lancer sous forme de remarque:

houssa a écrit:

salam

une liste d'entiers consécutifs:

a,a+1,a+2, ......................, a+n

on cherche a et n de façon que : a+(a+1)+(a+2)+..........+(a+n) = 2010.

.................................................

c'est ce qu'a commencé à faire maxima .

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au lieu de a peut-on poser n?
si oui on aura cette equation n(n+1)=1340 qui n'admet pas de solution dans N

à toi de réfléchir maintenant si c'est juste ou pas !

Ouii oui c'est peut etre une solution...
comme ça on aura une série de :
n, n+1,n+2 ......+ 2n ..

on a la série originale qui aura 2n(2n+1)/2 donc
2n(2n+1)/2 = 2010
2010 a plusieurs diviseurs si on résout dans N :
Je doute que c'est la bonne solution :
Donc le fait de supposer a = n est faux.

Amicalement

je crois que tu t'es trompé dans la factorisation:
t'as dit que n+(n+1)+....+2n =2n(2n+1)/2
pour n=1 ? ça se réalise ça ? 1=3 ?
je t'invite à renoncer à tout ça sinon tu risques d'encombrer le sujet avec des fautes
Gentiment

Non mon frère je crois que c'est toi qui t'es trompé
Dans le cas de n= 1
On a n +n+1 + n+2 +..+2n
Donc 1 + 2x1 = 3
ainsi que 2x1x(2x1+1)/2 = 3

Amicalement ce n'est qu'une application directe
De la série 1+2+3+4+....+n = n(n+1)/2

Dans ce cas on remplace le dernier nombre qui est n par 2n

Amicalement