Marathon des équations fonctionnelles

Il suffi de prendre y = 0 on a f(x) = f(x) +f(0)x donc f(0)x = 0 .. donc f(0) = 0 ou x = 0 .. mais puisque X et un variable dans R on a f(0) = 0 enfin .. je suppose et c'est moins compliqué ^^"

Cela prouve que f(0)=0 mais pas que f(x)=0 <=> x=0

En attendant une solution complète de la part de xyzakaria au problème 40 je propose le 41
Problème 41
Trouver toutes les fonctions f de Q+ vers Q+ vérifiant:

Spoiler:

Q+ est privé de 0 ? Si ce n'est pas le cas :
Solution au problème 41 :
Pour x=y=0, il vient f(0)=1/2.
Pour y=0, il vient f(x) + 1/2 = 1/(2f(x))
<=> 2f(x)² + f(x) - 1 = 0
<=> f(x)=-1 ou f(x)=1/2
Ce qui permet de conclure que f(x)=1/2 pour tout x de Q+ puisque -1 n'est pas dans Im(f).
Mais inversement, cette fonction ne vérifie pas l'énoncé.
Synthèse :
L'EF n'admet aucune solution.

Solution au problème 41 :
Je suppose que Q+ ne contient pas 0 .

On pose g(x)=1/ f(x) alors on a :
(*)

Pour x=y=1 on a g(2)=4 et pour x=y=2 on trouve g(4)=16 .

On pose g(1)=k et y=1 , alors on a :

et :


On fixe x=2 pour avoir :

Donc :

On effectue une récurrence simple pour avoir :
(**)
On pose x=p/q et y=q ( p,q des entiers >0 )
De la relation (*) on a :

Et de la relation (**) on a :

(*)+(**) => g(p/q)=p²/q² ( car g(p/q) > 0) ...

Et le résultat en découle ..

Dijkschneier a écrit:

Q+ est privé de 0 ? Si ce n'est pas le cas :
Solution au problème 41 :
Pour x=y=0, il vient f(0)=1/2.
Pour y=0, il vient f(x) + 1/2 = 1/(2f(x))
<=> 2f(x)² + f(x) - 1 = 0
<=> f(x)=-1 ou f(x)=1/2
Ce qui permet de conclure que f(x)=1/2 pour tout x de Q+ puisque -1 n'est pas dans Im(f).
Mais inversement, cette fonction ne vérifie pas l'énoncé.
Synthèse :
L'EF n'admet aucune solution.

Désolé Dijkschneier , j'ai oublié de signaler que c'est Q+* ,vraiment !

Sylphaen a écrit:

Solution au problème 41 :
Je suppose que Q+ ne contient pas 0 .

On pose g(x)=1/ f(x) alors on a :
(*)

Pour x=y=1 on a g(2)=4 et pour x=y=2 on trouve g(4)=16 .

On pose g(1)=k et y=1 , alors on a :

et :


On fixe x=2 pour avoir :

Donc :

On effectue une récurrence simple pour avoir :
(**)
On pose x=p/q et y=q ( p,q des entiers >0 )
De la relation (*) on a :

Et de la relation (**) on a :

(*)+(**) => g(p/q)=p²/q² ( car g(p/q) > 0) ...

Et le résultat en découle ..

Très jolie ta solution , je t'en félicite
Pour g(n)=n² pour tout n de N , c'est avec une récurrence (il fallait le signaler ne crois-tu pas ? )

Problème 42 : (**** : quatre étoiles) :
Trouver toutes les fonctions f : IR+ -> IR+ continues telles que :
1) f(f(x)) = x
2)

Dijkschneier a écrit:

Problème 42 : (**** : quatre étoiles) :
Trouver toutes les fonctions f : IR+ -> IR+ continues telles que :
1) f(f(x)) = x
2)

Bonjour à tous.
Evidemment, de pense que R+ est "à l'anglosaxonne", c'est dire sans 0. Sinon il n'y a pas de solution.

de 1) on déduit que f est bijective et donc, comme bijection continue, monotone

de 2) on déduit que f(x+1)<1 et donc que f(x)<1 pour tout x>1 et donc f est décroissante

Donc, comme bijection continue décroissante, lim_{x->0}f(x)=+infini et, en appliquant celà à 2) on obtient f(1)=1

Soit alors A l'ensemble des réels positifs x tels que f(x)=1/x.
A est non vide puisque 1 est dans A
de 1) on déduit que si x est dans A, 1/x est dans A
de 2) on déduit que si x est dans A, x+1 est dans A

Il est alors aisé de montrer par récurrence que toute fraction continue de longueur finie est dans A

Donc Q^+ est dans A

Donc R^+ est dans A (continuité)

Donc f(x)=1/x pour tour x>0 qui est bien une solution

Très bien pco.

Problème 43:
Trouver toutes les fonctions définis sur IR+ telles que:
1)- .
2)- f(z)=0
3)- [0;2[

f(z) = 0 ?
Tu entends par là : il existe z tel que f(z)=0 ?

Une autre faute de frappe

ali-mes a écrit:

Problème 43:
Trouver toutes les fonctions définis sur IR+ telles que:
1)- .
2)- f(z)=0
3)- [0;2[

J'ai déjà présenté ma solution là-bas:
https://mathsmaroc.jeun.fr/t17043-defi.
Et j'attends encore une confirmation.

ali-mes a écrit:

Problème 43:
Trouver toutes les fonctions définis sur IR+ telles que:
1)- .
2)- f(z)=0
3)- [0;2[

Bonjour,

Désolé, nmo, je n'ai pas regardé votre démonstration, et je n'arrive pas à la même conclusion que vous.

Notons bien sur que f(x)>=0 pour tout x (sinon 1 n'est pas toujours définie)
Soit A={x tels que f(x)=0} et a=Inf(A)>=2

En choisissant y dans A dans la première équation, on a f(x+y)=0 pour tout x>=0 et donc f(x)=0 pour tout x>=y
Donc f(x)=0 pour tout x>a et f(x) différent de 0 pour tout x<a

Soit alors y<a

Si f(y)>a/(a-y), soit alors x tel que a-y>x>a/f(y) :
xf(y)>a et donc f(xf(y))=0 et donc f(x+y)=0 mais on a x+y<a, et donc contradiction

Si f(y)<a/(a-y), soit alors x tel que a-y<x<a/f(y) :
xf(y)<a et donc f(xf(y)) et f(y) sont non nuls et donc f(x+y) est non nul mais on a x+y>a, et donc contradiction

Donc f(y)=a/(a-y) pour tout y<a

Soit alors y<a et x=a-y. L'équation 1 donne f(a)a/x=f(a) et donc f(a)=0

D'où la réponse, dont il est facile de vérifier que c'est effectivement une solution :
Soit a>=2 quelconque :
f(x)=a/(a-x) pour tout x<a
f(x)=0 pour tout x>=a

pco a écrit:

Désolé, nmo, je n'ai pas regardé votre démonstration, et je n'arrive pas à la même conclusion que vous.

Certes, en effet ma démonstration est érronée et je comprends ma faute, je vais supprimer ma solution immédiatement.

Pour mettre au point le problème, je n'ai pas résolu celui-là que tu viens de résoudre pco, mais j'ai résolu celui-ci:
https://mathsmaroc.jeun.fr/t17087-eq-fonc.
La différence réside dans la deuxième condition.
Au plaisir!

Je propose un nouvel problème, à ta place pco:
Problème 44:
Trouvez toutes les fonctions f et g, tel que .
Bonne chance.
P.S: Je ne dispose d'aucune solution à ce problème.

Problème 45 : (*** : trois étoiles)
Trouver toutes les fonctions de IR vers IR qui vérifient l'EF : f(xf(x+y)) = f(yf(x))+x².

J'ai édité le problème courant.

Salut Nizar J'espère que tu es bien arrivé , tu me manques déjà mec

King a écrit:

Salut Nizar J'espère que tu es bien arrivé , tu me manques déjà mec

Et moi ?! Et moi ?!

mizmaz a écrit:

King a écrit:

Salut Nizar J'espère que tu es bien arrivé , tu me manques déjà mec

Et moi ?! Et moi ?!

Mdr, llah llah 3la lMIZMAR

Salut King
Et pour la solution de M.Marjani...
Appelez Oussama Elmir...

Dijkschneier a écrit:

Salut King
Et pour la solution de M.Marjani...
Appelez Oussama Elmir...

MDRRR :
Marjani, tu as utilisé combien de lemmes dans ta solution, ces lemmes sont les tiennes?