Marathon des équations fonctionnelles

Tout d'abord il est facile de vérifier que toute fonction affine est solution de l EF:
On pose H(x)=f(x)-f(0)
Donc H(x^3)-H(y^3)=(x^2+xy+y^2)(H(x)-H(y)) (*)
Pour y=0 on a : H(x^3)=x^2H(x)
(*) <==> x^2H(x)-y^2H(y)=(x^2+xy+y^2)(H(x)-H(y))<==>x^2H(y)+y^2H(x)-xy(H(x)-H(y))=0
<==>(x+y)(xH(y)-yH(x))=0==>
Poux y=1 Et x=/=-1 on a : xH(1)=H(x)
Donc
(*)<==>x^3H(1)-H(-1)=(x^2-x+1)(H(1)x-H(-1))
Pour x=-1 on obtient que H(-1)+H(1)=0
Alors pour tt x€IR H(x)=ax
On déduit directement que toute fonction affine est solution de l EF.

Soit P(x,y) l'assertion f(f(x)-y²)=(f(x))²-2y²f(x)+f(f(y))
P(0,0): f(0)=0
P(x,0): pour tout x £ IR f(f(x))=(f(x))²
P(0,x) pour tout x £ IR f(f(x))=f(-x²) ainsi f est positive sur IR-
P(x,x): f(f(x)-x²)=2f(x)(f(x)-x²)
On suppose qu'il existe un réel u<=0 t.q : f(u)<u²
Nous avons f(u)-u²<0 donc f(f(u)-u²)>0 et ainsi 2f(u)(f(u)-u²)>0 ce qui donne f(u)<0 mais puisque f(u)>=0 puisque u<=0 donc f(u)=0.
Ainsi si on a pour tout x £ IR- f(x)<x² alors immédiatemment f est nulle sur IR- et puisque (f(x))²=f(-x²)=0 donc nulle sur IR, réciproquement la fonction nulle est solution à l'EF.
Sinon,nous avons aussi pour tout x £ IR f(f(x))=(f(x))²=f(-x²)=(f(-x))² ainsi nous avons pour tout x £ IR soit f(x)=f(-x) soit f(x)=-f(-x).
Supposons qu'il existe un a t.q: f(a)=-f(-a).
Nous avons f(f(-a))=f(-f(a))=-f(f(a))=f((-a)²)=f(a²)=f(f(a)) ainsi f(f(a))=0 soit f(a)=0
D'autre part nous avons (f(x))²=f(-x²) ainsi f(-1)=1 puisque f(-1)>0 et donc :
Si f(-1)=-f(1) alors on obtient f(1)=-1=0 contradiction donc f(1)=f(-1)=1.
Soit c un réel t.q: f(c)=0
P(1,c): f(1-c²)=1. Encore si il existe un v t.q : f(v)=1 nous avons :
P(v,1) 0=1-2v²+1 => v= +- 1 donc 1-c²=+-1 => c £ {1-1,V2,-V2} mais puisque nous avons :
P(1,-V2): f(-1)=1-4+(f(-V2))² => f(-V2)=2 et ainsi f(V2)=2 sinon nous aurons 2=0 contradiction et puisque f({1,-1,V2,-V2})={1,2} donc pour tout réel a t.q : f(a)=-f(-a) nous avons : a £ {1,-1,V2,-V2} ainsi nous aurons une contradiction et ainsi f est paire.
Ainsi P(x,y) : f(f(x)-y²)=(f(x))²-2y²f(x)+f(y²) on pose z=y² puisque f est paire il suffit d'étudier l'EF sur IR+
P(x,z): f(f(x)-z)=(f(x))²-2zf(x)+f(z)
P(x,f(z)) f(f(x)-f(z))=(f(x)-f(z))²
Soit E un ensemble t.q : E={f(x)/ x £ IR}
Nous avons pour tout a et b élemens de E f(a-b)=(a-b)²
Maintenant fixons x t.q: f(x)=k#0 quelconque
P(x,z): f(k-z)=k²-2zk+f(z) Soit f(z)-f(k-z)=k²-2zk
LHS parcourt tout IR. Alors tout réel s'écrit comme la différence de deux élements de E.
Alors x=a-b
Donc f(x)=f(a-b)=(a-b)²=x² et ainsi pour tout x £ IR f(x)=x².
Réciproquement cette fonction vérifie l'EF.
Synthèse : Les deux solutions de l'EF sont f:x->0 et f:x->x².