Le marathon des inégalités:

Problème 91:
Soient x;y;z>=0
Prouver que:

Solution au problème 91:

Spoiler:

Problème 92:
Soit a,b,c,d >0 t.q: a+b+c+d =1.
Prouver que :

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 91:

Spoiler:

C'est 9 pas 8 .

az360 a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 91:

Spoiler:

C'est 9 pas 8 .

Oui juste uen faute de frappe .
Merci pour ta vigilence.

...

..........

Re...Désolée pour le retard. Alors en voici un nouveau:
Problème 93:
a,b et c sont les longueurs des côtés d'un triangle, montrer que:

tel que S est la surface du triangle.

problème 93
on sait que selon héron S=rac(p(p-a)(p-b)(p-c))
=rac((a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16)
et d'après le problème 90 déjà résolu : on a obtenu:
(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=<(a²+b²+c²)²/3
donc :: S=<rac(a²+b²+c²)²/(16*3))
donc 4sqrt3=<a²+b²+c²

kaj mima a écrit:

Solution au problème 92:

Spoiler:

NON, f n'est pas convexe sur ]0;1[: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28\frac{1%2B\sqrt{x}}{1-x}%29%27%27%3E0&asynchronous=false&equal=Submit

si elle est convexe sur l intervalle [0,1[..

xyzakaria a écrit:

si elle est convexe sur l intervalle [0,1[..

hmm, elle est pas convexe sur ]0;1/9[

libre à vous de poster un nouveau problème.

manazerty a écrit:

libre à vous de poster un nouveau problème.

Le problème 92 est encore en jeu.

.

Qu'est-ce-qui se passe ici :O ...
@kaj mima: Ta solution est erronée, la fonction n'est pas convexe, et Jensen est inapplicable dans cette inégalité, je n'aurais quand même pas posté une inégalité aussi triviale qui sera juste une application directe.
Je te prie de supprimer ta solution, et le problème que tu as posté.
Merci pour ta compréhension

Ma réponse pour problème 92:

Soient a,b,c,d>0 tel que a+b+c+d=1. On a:





Et on a d'après l'inégalité de CS: .

.

Donc pour montrer l'inégalité proposée, il suffit de montrer que:

.

.

Maintenant, vu la concavité de la fonction: sur IR+, on a:

.

D'où le résultat voulut.

J'attends une confirmation pour poster un nouveau problème.

ali-mes a écrit:

Ma réponse pour problème 92:

Soient a,b,c,d>0 tel que a+b+c+d=1. On a:





Et on a d'après l'inégalité de CS: .

.

Donc pour montrer l'inégalité proposée, il suffit de montrer que:

.

.

Maintenant, vu la concavité de la fonction: sur IR+, on a:

.

D'où le résultat voulut.

J'attends une confirmation pour poster un nouveau problème.

Faux !
La dernière inégalité est équivalente à \sum Va >=2 et non inférieure ...

Mehdi.O a écrit:

ali-mes a écrit:

Ma réponse pour problème 92:

Soient a,b,c,d>0 tel que a+b+c+d=1. On a:





Et on a d'après l'inégalité de CS: .

.

Donc pour montrer l'inégalité proposée, il suffit de montrer que:

.

.

Maintenant, vu la concavité de la fonction: sur IR+, on a:

.

D'où le résultat voulut.

J'attends une confirmation pour poster un nouveau problème.

Faux !
La dernière inégalité est équivalente à \sum Va >=2 et non inférieure ...

Quelle faute !

Bonsoir tout le monde .

tels que a,b,c,d > 0 et a+b+c+d=1
tout d'abord montrons la lemme suivante :
On a
On fait la meme chose pour b,c,d , en sommant .. CQFD
Que quelqu'un se sente libre pour poster une nouvelle inégalité !

je crois que la solution de misterayyoub est claire et juste, donc je poste un nouveau problème:
problème 94:
soient a,b,c des nombres réels et positifs, avec: abc=1
MQ:
1/(a3(b+c)) +1/(b3(c+a))+ 1/(c3(a+b)) >= 3/2

Bonsoir encore une fois .
Nous devons demontrer l'inegalité suivante :
tel que abc=1 et a,b,c appartiennent a R+
faisons les substitions suivantes : a=1/x , b=1/y , c=1/z , ce qui donne xyz=1 , l'inegalité devienne :

Par CS , on a :

CQFD

C'est juste. Poste une autre

Je trouve pas pour l'instant , Vous pouvez posté une nouvelle inégalité .
Au plaisir ..

Problème 95:
Soient a;b;c € IR+ tel que abc=1 prouver que: