Le marathon des inégalités:

Bonsoir à tous,
Comme vous avez dû le constater, une idée de notre cher Dijkschneier consistant en un topic intitulé "Marathon des équations fonctionnelles" a vu le jour sur le forum, et pour promouvoir le recherche en matière de mathématiques sur ce forum, afin de le voir renaître de ces cendres, je vous propose d'en faire de même pour les inégalités.
Comme chacun sait, les inégalités sont très répandues parmi les matheux en herbe de notre pays, puisque facilement abordables et assez proches du programme scolaire. Ce jeu est donc une occasion d'avancer en la matière et d'aider ceux qui sont des débutants à progresser.
Donc ce jeu consiste en une séries d'inégalités, je serais le premier à en poster une, le premier à y répondre aura l'occasion d'en poster une nouvelle. Sinon, il laissera l'opportunité à ceux qui en ont à proposer de le faire. Les questions et les réponses doivent se suivre, dans une athmosphère de respect mutuel entre mathématiciens. Ainsi, les règles en vigueur sont :
"-Tout le monde à le droit de participer, et le fait de répondre à une inégalité est reconnu comme étant la première participation, pas la peine de dire "Je participe" ou quelque chose du genre.
- Numéroter clairement les problèmes, et citer le numéro du problème dans la solution que l'on en donne.
- Spoiler les solutions afin de ne pas biaiser l'esprit des participants.
- Veiller à ne pas répéter les problèmes.
- Ne pas poster des inégalités "classiques" ou bien des résultats ayant un nom (Nesbitt, ...).
- Expliciter les notations utilisées, si nécessaire.
- Citer chaque théorème utilisé, et éclaircir les préliminaires (fonction convexe ou concave pour Jensen, ordres des variables pour le réordonnement...)
- Ne pas indiquer les sources des problèmes pour éviter des cas de tricherie.
- Ne pas poster de solutions incomplètes et par conséquent, ne pas attendre de confirmation pour reproposer un nouveau problème."
-Ne pas poster un message du genre "Je posterais une solution dans 5 minutes ... " pour laisser la chance aux autres d'être plus rapides.
-Si une inégalité dûre plus de 24 heures sans réponse, son propriétaire se doit de donner une réponse et d'en proposer une autre dans des délais raisonnables.

Ces règles ne sont pas exhaustives, j'en ajouterais si j'en vois l'utilité.

Bon commençons par quelque chose d'abordable:

Problème 1
Pour tous réels a,b et c tel que :
Prouver que :

je crois qu'il ya une faute c doit être le plus grand non ?
(je supprimerai mon msg après la rectification )

Bon pour ne pas tarder :

solution du Problème 1:

Spoiler:

Problème 2:
je propose cette inégalité

Solution au problème 2 :

Spoiler:

@King : merci de respecter les règles du marathon.

Problème 3 :
Soient x, y et z des réels tout court tels que x + y + z = 0.
Prouver que 6(x^3 + y^3 + z^3)² <= (x² + y² + z²)^3

Dijkschneier a écrit:

@King : merci de respecter les règles du marathon.

C'est à Tarask de proposer une inégalité qui respectent les règles, c'est une application directe d'une inégalité classique (Holder), et c'est tellement évident que c'était inutile de spoiler.
D'ailleurs ,lorsqu'on poste une inégalité trop facile, il y a celui qui s'applique à écrire ses réponses en Latex, et il y a celui qui veut se montrer plus rapide que les autres en écrivant des réponses illisibles (je ne sous-entend personne) et c'est un problème qu'on ne peux pas régler car il y a ceux qui ont des problèmes avec les codes LATEX, et dans ce cas il va faloir poster des inégalités au niveau, comme ça le facteur de rapidité n'aura pas une très grande influence.

King a écrit:

Dijkschneier a écrit:

@King : merci de respecter les règles du marathon.

C'est à Tarask de proposer une inégalité qui respectent les règles, c'est une application directe d'une inégalité classique (Holder)
D'ailleurs ,lorsqu'on poste une inégalité trop facile, il y a celui qui s'applique à écrire ses réponses en Latex, et il y a celui qui veut se montrer plus rapide que les autres en écrivant des réponses illisibles (je ne sous-entend personne) et c'est un problème qu'on ne peux pas régler car il y a ceux qui ont des problèmes avec les codes LATEX, et dans ce cas il va faloir poster des inégalités au niveau, comme ça le facteur de rapidité n'aura pas une très grande influence.

D'accord cher ami je comprend ce que vous voulez dire !
je tacherai de poster d'autres plus compliquées (d'ailleurs c'est ce que j'allais faire )
Bon j'aime pas ralentir ce jeu marathon magnifique !
Mes excuses encore une fois !
P.S :

Spoiler:

Solution n° 3
Intéréssante, j'ai procédé par calcul pur, j'espère que quelqu'un postera une réponse plus élégante.

Spoiler:

Pour ce qui est d'une nouvelle inégalité, je n'en ai pas pour le moment, vous pouvez en poster, mais quelque chose d'original si possible.

Salut
Je m'en charge donc
Probleme 4 (crée par moi)
soient x,y,z des réels positifs tels que xyz=1 MQ:

A+

..

M.Marjani a écrit:

oussama1305 a écrit:

Solution n° 3
Intéréssante, j'ai procédé par calcul pur, j'espère que quelqu'un postera une réponse plus élégante.

Pour ce qui est d'une nouvelle inégalité, je n'en ai pas pour le moment, vous pouvez en poster, mais quelque chose d'original si possible.

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz => x^3+y^3+z^3=3xyz

(x²+y²+z²)^3=((x+y+z)²-2(xy+yz+xz))^3=-8(xy+yz+xz)^3

D'ou l'inégalité est de Dijkchsneier est plutot >= 0 au lieu de =< 0, contre exemple prendre (x,y,z)>=0

xy+yz+zx est négative, et c'est facile à démontrer (3(xy+yz+zx) <= (x+y+z)^2 = 0)
Donc l'inégalité est juste.
Et (x,y,z)>=0 ne satisfait pas la condition x+y+z=0.

oussama1305 a écrit:

M.Marjani a écrit:

oussama1305 a écrit:

Solution n° 3
Intéréssante, j'ai procédé par calcul pur, j'espère que quelqu'un postera une réponse plus élégante.

Pour ce qui est d'une nouvelle inégalité, je n'en ai pas pour le moment, vous pouvez en poster, mais quelque chose d'original si possible.

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz => x^3+y^3+z^3=3xyz

(x²+y²+z²)^3=((x+y+z)²-2(xy+yz+xz))^3=-8(xy+yz+xz)^3

D'ou l'inégalité est de Dijkchsneier est plutot >= 0 au lieu de =< 0, contre exemple prendre (x,y,z)>=0

xy+yz+zx est négative, et c'est facile à démontrer (3(xy+yz+zx) <= (x+y+z)^2 = 0)
Donc l'inégalité est juste.
Et (x,y,z)>=0 ne satisfait pas la condition x+y+z=0.

Ah, pardon t'as raison.

Cette methode est plus efficase: celle de remarquer que:

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz => x^3+y^3+z^3=3xyz

Et (x²+y²+z²)^3=((x+y+z)²-2(xy+yz+xz))^3=-8(xy+yz+xz)^3

Mais mieux vaut continuer et nous donner une réponse complète, car ta démarche est triviale, tout le monde peut le constater.

Supposons que z>x>y => z>0 donc
Par cauchy shwarz on a
((-x)^2+(-y)^2+z^2)(1+1+4)>(-x-y+2z)^2=9z^2
et
(x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2+y^2+xy)^2>9.4.x^2y^2

Multiplyant les deux inégalité et on utilisant le faite que x^3+y^3+z^3=3xyz qui est un resulttat connu on aura le resultat voulu

Abdek_M a écrit:

Supposons que z>x>y => z>0 donc
Par cauchy shwarz on a
((-x)^2+(-y)^2+z^2)(1+1+4)>(-x-y+2z)^2=9z^2
et
(x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2+y^2+xy)^2>9/4(x+y)^4>9.4.x^2y^2

Multiplyant les deux inégalité et on utilisant le faite que x^3+y^3+z^3=3xyz qui est un resulttat connu on aura le resultat voulu

Parfait, comme toujours.
Je vois que l'avion ne t'a pas chamboulé les neurones.
3la slamtek khoya ou bssa7a ou salama inchallah, et des résultats, c'est l'essentiel

alysalmek a kouya merci

bonjour ....
Solution du problème 4:

Spoiler:

problème 5:
soit a,b,c>=0 avec a+b+c=1 ,montrer que:

.

M.Marjani a écrit:

majdouline a écrit:

bonjour ....
Solution du problème 4:

Spoiler:

problème 5:
soit a,b,c>=0 avec a+b+c=1 ,montrer que:

Bonjour, je pense que c'est plutot (a,b,c)>0
Contre exemple: a=1, b=0 , c=0 : )

Spoiler:

c'est le cas d'égalité

SAlut
Solution du Probleme 5 :

Spoiler:

Probleme 6 : (crée par moi) une simple inégalité
soit a;b;c >=0 tels que a+b+c =3 MQ :

PS: elle ne nécessite pas des connaisances genre Ln(x)...
A+

Solution au problème 6

Spoiler:

Je n'ai pas d'inégalités à proposer.

Soit , et des réels strictement positifs.
Prouver que :

King a écrit:

Soit , et des réels strictement positifs.
Prouver que :

D'aprés l'inégalité de Cauchy Shwarz on a


donc il suffit de Montrer que

sans perte de generalité supposons que alors on a

donc il suffit de Montrer que

ou bien




ce qui est clairement vrai

Tu peux poster un exercice Abdelmalek.

oussama1305 a écrit:

Tu peux poster un exercice Abdelmalek.

Désolé pour mon retard voila l'inégalité que je propose

Soit des réels positifs , Montrez que

P:S: on peut prouver cette inégalité seulment avec cauchy shwarz