Le marathon des inégalités:

Solution au problème 71 :
En divisant le tout par a², et en posant x=b/a et y=c/a, l'inégalité devient équivalente à : (1+x)(1+y) >= 2sqrt(xy(1+x+y)), ou encore à (xy+(1+x+y))² >= 4xy(1+x+y), ce qui n'est qu'une application de l'inégalité (a+b)² >= 4ab.

powerofzeta a écrit:

Problème 71:[/b]
soient a,b,c>=0 montrer que:

Spoiler:

Probleme 72 :
voici cadeau pour toi powerofzeta et bienvenu au forum (a TAYééb lol)
Soient a,b,c,d des réels positifs tels que :
MQ :

Solution au problème 72 :
Par symétrie entre a et b, on peut supposer que b>=a.
De même par symétrie entre c et d, on peut supposer que d>=c.
Et par symétrie entre {a,b} et {c,d}, on peut supposer finalement que b>=d
L'inégalité est équivalente à : (a-c)(b-d)+(b-c)(a-d) <= 0
- Supposons que d>=a>=c :
On a alors la chaine d'inégalités : b >= d >= a >= c
En posant a=c+gamma, d=c+beta+gamma et a=c+alpha+beta+gamma, avec alpha,beta et gamma des réels positifs, et en utilisant la condition et en développant, il vient alors que : alpha² + 2alpha.beta + c.gamma + c.alpha + (alpha+beta).gamma = 0, ce qui implique que tout est nul, et donc que a=b=c=d.
Et l'inégalité est vraie pour a=b=c=d.
- Supposons que d>=c>=a :
On a alors la chaine d'inégalités : b >= d >= c >= a
Et l'inégalité est clairement vraie car négatif + négatif <= 0.
- Supposons enfin que a>=d>=c !
On a alors la chaine d'inégalités : b >= a >= d >= c
Alors on a nécessairement a=b=c=d car a²-ab+b² >= c² - cb + b² >= c² - cd + d², avec égalité ssi a=b=c=d.
Et l'inégalité est vraie pour a=b=c=d.

Sporovitch a écrit:

powerofzeta a écrit:

Problème 71:[/b]
soient a,b,c>=0 montrer que:

Spoiler:

Probleme 72 :
voici cadeau pour toi powerofzeta et bienvenu au forum (a TAYééb lol)
Soient a,b,c,d des réels positifs tels que :
MQ :

Inégalité d'Abdek non ?

Si ma solution est juste, alors que chacun se sente libre de proposer un nouveau problème à ma place.

Et salut tarask !

Problème 73 :
Soient x et y des réels.
Montrer que : 3(x+y+1)² + 1 >= 3xy, et déterminer le cas d'égalité.

Problème 74 :
Soit trois nombres réels positifs tel que : .

Montrez que :

Se fait en deux lignes...

Mehdi.O a écrit:

Problème 74 :
Soit trois nombres réels positifs tel que : .

Montrez que :

Spoiler:

Problème 75 (****):
a,b,c>0 MQ

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 75:

Spoiler:

Merci de vérifier la solution .
-(2a+b)(2a+c)=4a²+2ac+2ba+bc non pas 2a²+2ac+2ab+bc. Puis vers la fin j'ai pas remarqué le cas d'égalité . ..

Sporovitch a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 75:

Spoiler:

Merci de vérifier la solution .

Oups ! Je m'excuse pour cette sottise ...

Sporovitch a écrit:

Problème 75 (****):
a,b,c>0 MQ

solution du problème 75:

Spoiler:

je n'ai pas de problèmes à proposer actuellement!

Problème 76:
Soit x, y, z>0 tel que x+y+z=3

hay ssi elmarjani , wa sir 7fed lik chi histoire xD

Pour sauver le sujet et en attente d'une réponse au problème de jacks voici une autre:
Problème 78:
Montrer que: pour tous a, b, et c trois réels.

Solution ( 78 ) :

L'inégalité est équivaut à : Somme Cyc ( c(a-b)/(b+c)b ) >0 ( S.C désigne Somme cyclique )
==> S.C de [(a/b)-1)]/(1+(b/c)] >0 ==> S.C de [1+a/b]/[1+(b/c)] > S.C(2/1+(b/c))
Posons 1+a/b =x , y=1+b/c , z=1+c/a Il suffit de montrer que x/y+y/z+z/x > 2/x+2/y+2/z
On a 3 S.C (x/y+y/z+z/x) = S.C ( x/y+x/y+z/x) > 3 S.C( [xz/y²]^1/3) =3 S.C 2/y
[Puisque xyz >8 [ (1+a/b)(1+b/c)(1+a/c) >8 ] ]

Je propose cette inégalité :
Problème 79 :
Montrer que :
Sigma Cyc de : a+b/racine(a²+ab+b²) > 4[racine(ab+bc+ac)]/a+b+c +2/racine(3)
Quelqu'un peut l'écrire en LATEX slvp !

louis a écrit:

Pour sauver le sujet et en attente d'une réponse au problème de jacks voici une autre:
Problème 78:
Montrer que: pour tous a, b, et c trois réels.

Faux:prendre a=2;b=3 et c=-4

Il faut ajouter que a,b et c sont strictement posétifs !

jacks a écrit:

Problem 77:

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

Abdek_M a écrit:

jacks a écrit:

Problem 77:

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

il existe une solution sans theoreme , mais avec bcp de calcul !!