Le marathon des inégalités:

il est facile de prouver que :


1)-par l'inégalité de Hölder on a :

2)-par l'inégalité de Hölder on a :

ainsi en sommant 1)- et 2)- on aura:

posons :

la condition devient donc:

et on a :

Et en utilisant l'inégalité de C.S on a donc :

sauf erreur....

very nice porbleme
supposons que x+y+z=1
L'inégalité équivaut a :

ce qui équivaut a:
x+yz+27xy²z²>=27xyz(y²+z²+x)
<==> x+yz+81xy²z²>=27xyz(x²-x+1)
posons a=xyz ==> yz=a/x
L'inégalité équivaut a :*</STRONG>
notons
cette fonction s'annule dans (apeu pres ) 0,03
si x=<0;03 l'inégalité est bien vrai
si x>=0;03 **

en calculant le (delta) dans * on le trouve négative pour x £ [0;02;1/3]
il s'ensuit qu'il suffit détudier le cas de x>=1/3 (dapres **)
or f'(a)=162a+g(x)=<6+g(x)=<0 (x>=1/3)
il s'ensuit que f(a) est une fonction décroissante qui atteind son minimum lorsque (a) atteind son maximum ce qui met fin a l'exercice
enfin sauf erreur
ouuuf!

Dédiée à celui qui se reconnaîtra
On pose :
La contrainte devient :
Quelques résultats préliminaires :


L'inégalité en question devient :


Et puisque : , il nous suffit de démontrer que :

Ou bien que :

Ce qui est vrai par :

Notations :
- "LHS" désigne le membre de gauche de l'inégalité.
- Sigma(a/(b+c)) désigne la somme cyclique : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
- Sigma (y+z) désigne la somme cyclique (y+z) + (x+z) + (x+y) = 2(x+y+z)
Preuve :
Par symétrie des rôles, supposons que a>=b>=c et z>=y>=x. Il est non difficile alors d'observer que les deux triplets (a/(b+c), b/(a+c), c/(a+b)) et (y+z, x+z, x+y) sont rangés en ordre décroissant.
De fait, en utilisant l'inégalité de Chebyschev, on a : LHS >= (Sigma(a/(b+c))*Sigma(y+z))/3 = 2Sigma(a/(b+c)(x+y+z)/3
En utilisant l'inégalité de Nesbitt : (Sigma(a/(b+c)) >= 3/2.
Par suite, il suffit de montrer que (x+y+z)² >= 3(xy+xz+yz), qui est un résultat classique.

d'après l'inégalité de C.S. on a:

Par Hölder on a :



Et par AM-GM :

D'où :

Donc il suffit de prouver que :

En posons a=1/x ,b=1/y,c=1/z ,x,y,z>0 il revient à prouver que :

Ce qui est déjà fait .. sauf erreur ..