Bonsoir,
Nom d'utilisateur: n.naoufal
Voilà une proposition pour le problème du mois,
Montrons que F+Vect(e) fermé pour tout e∉F.
Soit (z_n) une suite convergente d'éléments de F+Vect(e) de limite z.
Pour tout n∈N, on peut écrire z_n=y_n+λ_n .e avec y_n∈F et λ_n∈K.
Montrons en raisonnant par l'absurde que la suite (λ_n) est bornée.
Si la suite (λ_n) n'est pas bornée, quitte à considérer une suite extraite, on peut supposer |λ_n|→+∞.
Posons alors t_n=1/λ_n z_n=1/λ_n . y_n+e.
Puisque ‖z_n‖→‖z‖ et |λ_n|→+∞, on a ‖t_n‖→0 et donc 1/λ_n y_n→−e.
Or la suite de terme général 1/λ_n y_n est une suite d'éléments de l'espace fermé F, donc −e∈F ce qui exclu.
Ainsi la suite (λ_n) est bornée et on peut en extraire une suite convergente (λ_φ(n)) de limite λ∈K.
Par opérations, la suite (y_φ(n)) est alors convergente.
En notant y sa limite, on a y∈F car l'espace F est fermé.
En appliquant ça aux vecteurs engendrant E en ajoutant à chaque fois un vecteur on montre par succession que E + F est fermé.
Sauf erreur
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