Problème de juillet 2007

Soit x un complexe non nul et n dans Z.
On pose y=x+1/x et S_n(x)=x^n+1/x^n.
Sachant que deux valeurs consécutives prises par la suite S_n sont des rationnels, montrer que la suite (S_n) ne prend que des valeurs entières.

Si quelqu'un repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa réponse et poursuit sa solution en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Salut,
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Etes vous sur Monsieur Abdelbaki de cet exercice?
Si x=2 alors pour tout n on aura S_n rationnelle!

mais non kaderov,le cas où x=2 ne vérifie pas tous les conditions sitées dans le problème.(deux valeurs consécutives prises par la suite S_n sont des rationnels).

Qu'est ce que x ne verifie pas?
S_n=2^n+1/2^n & S_(n+1)=2^(n+1)+1/2^(n+1) sont rationnels!

Si quelqu'un repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa réponse et poursuit sa solution en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

salut tout le monde.
Solution postée(pas sùr mais j'ai essayé de repérer l'erreur de l'énoncé avec la démonstration bien sùr)

Salut MONSIER ATTIOUI et tout le monde.

L’objectif de ma démonstration suivante est :

Soit x un nombre réel non nul et k un entier naturel.Si x^k+1/x^k et x^ (k+1) +1/x^(k+1) sont tous les deux rationnels alors x+1/x est aussi un rationnel. (C’est l’initiation de la récurrence)

Pour tout entier naturel n et p on a:S (n)=x^n+1/x^n et alors S (n)=S (-n).

La réponse est triviale si x=1.Supposons donc que x#1.

Il est très simple de montrer que :

S (n)*S (p) =S (n+p) +S (n-p) (1)

Et plus particulièrement S² (n)=S (2 n) +2. (1’)

C’est simple aussi de montrer que S (n+1)-S (n)=S (n)*(S (1)-2) +S (n)-S (n-1).

Donc par une simple récurrence on déduire que la suite {S} est croissante.

Si k=1, il est simple de montrer à partit de (1) que S (n) est rationnel pour tout n.

Supposons donc que k>.

Une autre simple récurrence montre que S (nk) et S (n (k+1)) sont des rationnels. (On utilise (1) et (1’)).

on conclut donc que S=S(1)+S(2k+1)=S(k)*S(k+1) et P=S(1)*S(2k+1)=S(2k)+S(2(k+1)) sont tout les deux rationnels.

Donc S (1) est une racine de l’équation t²-St+P=0. (2)

D’autre part S’=S(1)+S(2k²-1)=S(2k²)*S(2(k²-1)) et P’=S(1)*S(2k²-1)=S(2k²)+S(2(k²-1)) sont aussi des rationales.

Donc S (1) est une racine de l’équation t²-S’t+P’=0.

En plus que cela, puisque {S} est croissante alors S’=S (1) +S (2k²-1)>S (1) +S (2k+1)=S. (3)

De (2) et (3) on déduit que S (1)= (P’-P)/ (S’-S) est rationnel.

Par une simple récurrence on arrive à démontrer que S(n) prend toujours des valeurs rationnels.

Avant cette démonstration j’ai eu cette idée que je veux aussi vous partager.

Fixons y£ ((Q+)-IN).

Donc S (0)=2, S (1)=y et S(n+1)=yS(n)-S(n-1).Donc S(n) ne peut prendre que des valeurs rationnels comme une différence de deux nombres rationnels.

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nn redwane il faut bien verifie le probleme

Maître Nombre de messages : 78 Date d'inscription : 28/12/2006

à koi sert y

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