<< Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >>

On a M appartient à la médiatrice de [AK] donc MB=MK.

Et on a M appartient à (AL) la bissectrice intérieure de l'angle donc .

En effectuant la loi de sinus respectivement dans les triangle ABM et AMK on a:

et


Et puisque MB=MK et donc:


Donc le quadrilatère ABMK est cyclique d'où

Et on a .

Et on a (MK) et (LN) sont parallèles et (AM) les coupent donc .

On conclut que donc le quadrilatère ABLN est aussi cyclique d'où .

Et on a donc les triangles BAN et BLN sont isométriques.

On conclut que AN=LN.

Il suffit de montrer que le carré d'un entier n'est jamais congru à 2(mod 5).
Ce qui est trivial.

Cela revient à montrer qu'il n'existe pas d'entier k, k²=5n+7.
Le chiffre des unités d'un carré appartient à {1,4,5,6,9}
Le chiffre des unités de 5n est ou 0 ou 5.
Si le chiffre des unités de 5n est 0 alors le chiffre des unités de 5n+7 est 7.
Si le chiffre des unités de 5n est 5 alors le chiffre des unités de 5n+7 est 2.
Dans les deux cas 5n+7 ne peut être un carré. D'où la conclusion.

On résous : x+y+z+xy+yz+zx+xyz=2009
l'équation proposée est équivalente à: (x+1)(y+1)(z+1)=2010

la décomposition en facteurs premiers de 2010 est: 2010=2*3*5*67
la condition de 1<x<y<z est équivalente à: 2<x+1<y+1<z+1

Ainsi on a :
* x+1=5 et y+1=6 et z+1=67 donc x=4 et y=5 et z=66
* x+1=3 et y+1=10 et z+1=67 donc x=2 et y=9 et z=66
* x+1=3 et y+1=5 et z+1=134 donc x=2 et y=4 et z=133


D'où: S={(4,5,66)/(2,9,66)/(2,4,133)}