| | << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> |  |
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yasserito
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Dim 17 Juil 2011, 14:07 | |
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az360
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mar 19 Juil 2011, 12:28 | |
| - ali-mes a écrit:
- az360 a écrit:
- Problème 51: (*) :
je croix que card(A) <= 21 par 22 .
Non, c'est 22.
Voilà la version originale (tiré d'un ancien olymp de TSM):
 Ali , tu peut me donner un exemple ou il y'a 22 elements dans A qui satisfait l’énonce ? merci ^^ . | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mar 19 Juil 2011, 18:35 | |
| - az360 a écrit:
- ali-mes a écrit:
- az360 a écrit:
- Problème 51: (*) :
je croix que card(A) <= 21 par 22 .
Non, c'est 22.
Voilà la version originale (tiré d'un ancien olymp de TSM):
Ali , tu peut me donner un exemple ou il y'a 22 elements dans A qui satisfait l’énonce ? merci ^^ . Désolé, vous avez raison, l'inégalité est plutôt stricte. C'est ma faute parceque j'ai cru que CardE=43 et c'est plutôt CardE=41. (Je dois revoir le vidéo de AoPS: introduction to counting 2  ). Donc, l'énoncé de l'exo original est faux (chose normal dans les olympiades marocaines). Encore une fois, excusez moi. je vais éditer l'énoncé que j'ai proposé au début. | |
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az360
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mar 19 Juil 2011, 19:42 | |
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Nayssi
Maître
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mar 19 Juil 2011, 23:10 | |
| Solution au problème 51- Spoiler:
Partageons l'ensemble E en deux sous-ensemble I et J tel qu'à tout élément j de J, on peut associer un élément i de I / i+j=2010.
Soit k un entier naturel / 0<=k<=20
Posons I={5+50k} et J={2005-50k}
Ainsi I={5;55;...;955;1005} et J={1005;1055;...;2005}
On a bien I U J= E et pour tout élément j=2005-50k de J, il existe un élément i=5+50k de I tel que i+j=2010 (Puisque i+j=5+50k+2005-50k=2010)
De plus Card(I)=Card(J)=21
La conclusion s'en suit en appliquant le principe des tiroirs (en choisissant comme tiroirs I et J)!
Et je n'ai pas de problèmes à proposer!
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ali-mes
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mar 19 Juil 2011, 23:55 | |
| - Nayssi a écrit:
- Solution au problème 51
- Spoiler:
Partageons l'ensemble E en deux sous-ensemble I et J tel qu'à tout élément j de J, on peut associer un élément i de I / i+j=2010.
Soit k un entier naturel / 0<=k<=20
Posons I={5+50k} et J={2005-50k}
Ainsi I={5;55;...;955;1005} et J={1005;1055;...;2005}
On a bien I U J= E et pour tout élément j=2005-50k de J, il existe un élément i=5+50k de I tel que i+j=2010 (Puisque i+j=5+50k+2005-50k=2010)
De plus Card(I)=Card(J)=21
La conclusion s'en suit en appliquant le principe des tiroirs (en choisissant comme tiroirs I et J)!
Et je n'ai pas de problèmes à proposer!
En gros, c'est ça la méthode. Mais il y a quelque chose qui cloche dans votre preuve: 1005 £ I et 1005 £ J donc E={...;1005;1005;....}  Tu devrais faire E=I U J U le singleton qui contient 1001. Mais, en tous cas, j'ai bien aimé votre utilisation du principe des tiroirs. Il y a une autre réponse plus élémentaire sans l'utilisation du principe de tiroirs ni de Partage de E en I et J. | |
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ali-mes
Expert sup
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mer 20 Juil 2011, 00:02 | |
| P.S: si tu fais E=I U J U le singleton qui contient 1001, dans ce cas I={5;55;...;955} et J={1055;...;2005} | |
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Nayssi
Maître
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mer 20 Juil 2011, 00:21 | |
| Regarde : http://fr.wikipedia.org/wiki/Union_(math%C3%A9matiques)  Ce dont tu parles est I+J | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mer 20 Juil 2011, 00:31 | |
| Ok, j'ai vu le lien.
Mais si E=I U J implique CardE=CardI+CardJ=21+21=42 ce qui est contradictoire avec le fait que CardE=41 !
Et une petite remarque, l'opération de +, ça existe dans P(E) ? | |
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Nayssi
Maître
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mer 20 Juil 2011, 00:57 | |
| - ali-mes a écrit:
- Ok, j'ai vu le lien.
Mais si E=I U J implique CardE=CardI+CardJ=21+21=42 ce qui est contradictoire avec le fait que CardE=41 !
Et une petite remarque, l'opération de +, ça existe dans P(E) ? Nooooooooooon  Cela est valable quand I et J sont disjoints. Dans ce cas Card (E) = Card(I) +Card(J) - Card (I inter J) =21+21-1=41 Pour l'operation +, je me rappelle plus où l'avoir vu mais c'est défini ainsi : Pour deux ensembles E={e1;e2;...;eP) et F={f1;f2;...;fK} , E+F={e1;e2;...;eP;f1;f2;...;fK} | |
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ali-mes
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upsilon
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| | Sujet: Re: << Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >> Mer 20 Juil 2011, 01:54 | |
| Je vous propose cette solution - Spoiler:
I={5;55;...;1005} et J={1055;...;2005}
Soit deux nmbres tel que x+y=2010
REmarquons que x=50k+5
Donc y=2005-50k
Si y<=1005
Donc 50k>=1000 Ainsi k>=20
Donc x>=1005
Pour tout y de I on a x£J
Si y=1005 donc x=1005
on peut généraliser et dire que:
Pour tout nombre y de I on a x de J sauf pour y=1005 ou x=1005
Donc Card(I)=Card(J)+1
On a Card(E)=Card(I)+Card(J)=2Card(J)+1
Donc Card(J)=(41-1)/2=20 Donc Card(I)=21
On a I ne contient pas deux nombres dont la somme est 2010
Donc A est une partie de I Ainsi Card(A)<=21
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