<< Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >>

je ne sais pas si cela est juste mais voici une remarque
P(a)=b
P(b)=c
P(c)=a
Puisque P(b)=c
donc P(P(a))=c ainsi P(P(P(c)))=c
Voici ma remarque:
le degrès de P(P(x)) est le degrès de P(x) au carré
Donc le degrès de P(P(P(c))) égale au degrès de P(c) puissance 4
on a le degrès de P(P(P(c))) est 1
Donc le degrès de P(c) est 1
Ainsi P(c)=xc+y
D'ou P(P(P(c)))=P(P(xc+y))=P(x²c+yx+y)=x³c+yx²+yx+y (on remplace c par xc+y)
Donc x³c+yx²+yx+y=c
Ainsi x=1 et y=0
Donc P(c)=xc+y=c
on a P(c)=a donc a=c
on a a et c sont différents et a=c
Ce qui est une contradiction
Donc c'est impossible

Procédons par l'absurde, supposons qu'il existe un polynôme P(x) à coefficients entiers tel que P(a)=b et P(b)=c et P(c)=a.

Posons: P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n (les a_{i} appartiennent à Z)

On a : P(a)=a_{0}+a_{1}a+a_{2}a^2+...+a_{n}a^n
<=> P(a)=a_{0}+a(a_{1}+a_{2}a+...+a_{n}a^(n-1))
<=> a_{0}+a(a_{1}+a_{2}a+...+a_{n}a^(n-1))=b
<=> a(a_{1}+a_{2}a+...+a_{n}a^(n-1))=b-a_{0}
<=> a divise b-a_{0}

De même P(b)=c <=> b divise c-a_{0}

Et P(c)=a <=> c divise a-a_{0}

Il me reste juste de trouver la contradiction

Si P(x) est un polynôme alors a-b|P(a)-P(b) donc a-b|b-c et de même on trouve que a-b=b-c=c-a, ce qui donne a=b=c, contradiction !