<< Grand Jeu d'été 2011 de TC ->1ére >>

Sincèrement, je peux pas donner un indice pour cet exo, caar il y a beaucoup de méthodes pour le résoudre.

Utilise les vecteurs + Chasles pour écrire vec{XY} en fonction de vec{AB}

Disjonction de cas: P(x) est constante ou P(x) n'est pas constante puis travailler sur le degré de P(x) et Q(x).

remarquer que deg(P(x).Q(x))=deg(P(x))+deg(Q(x)) et deg(P(Q(x)))=deg(P(x)).deg(Q(x))

Soit P(x) et Q(x) deux polynômes vérifiant: P(x)Q(x)=P(Q(x)) (*) pour tous réel x.

Comme j'ai déjà mentionné, on va faire une disjonction de cas:

* Si P(x) est constante, alors il existe un réel c tel que: P(x)=c.

On remplace dans (*) et on trouve: c.Q(x)=c <=> c.Q(x)-c=0 <=> c(Q(x)-1)=0

<=> c=0 ou Q(x)=1

* Si P(x) n'est pas constante, donc deg(P(x))>0 et deg(Q(x))>0

On a P(x)Q(x)=P(Q(x))=>deg(P(x)Q(x))=deg(P(Q(x)))

=> deg(P(x))+deg(Q(x))=deg(P(x)).deg(Q(x))

Pour simplifier, posons deg(P(x))=X et deg(Q(x))=Y.

On a donc X+Y=XY (avec X et Y des entiers strictement positifs)

On résous d'abord dans l'équation:

X+Y=XY <=> XY-Y=X <=> Y(X-1)=X (X est différent de 1, car si X=1 on aura 0=1 contradiction)

<=>

On a:



X et Y sont deux entiers strictement positifs donc X=2 et Y=2 <=> deg(P(x))=2 et deg(Q(x))=2

deg(P(x))=2 <=> P(x)=ax²+bx+c (avec a difféent de zéro)

deg(P(x))=2 <=> P(x)=dx²+ex+f (avec d difféent de zéro)

En remplaçant dans (*) on trouve:

(ax²+bx+c)(dx²+ex+f)=a(dx²+ex+f)²+b(dx²+ex+f)+c

<=>adx^4+aex^3+afx²+bdx^3+bex²+bfx+cdx²+cex+cf=a(d²x^4+e²x²+f²+2dex^3+2dfx²+2efx)+bdx²+bex+bf+c

<=>adx^4+aex^3+afx²+bdx^3+bex²+bfx+cdx²+cex+cf=ad²x^4+ae²x²+af²+2adex^3+2adfx²+2aefx+bdx²+bex+bf+c

<=> (ad-ad²)x^4+(ae+bd-2aed)x^3+(af+be+cd-ae²-2adf-bd)x²+(bf+ce-2aef-be)x+(cf-af²-bf-c)=0



Après beaucoup de calculs moches, on trouve (à part les autres cas déjà traités):

a un réel quelconque différent de zéro et b=c=e=f=0 et d=1

Synthèse:

Les polynômes qui satisfont le problème sont:

* P(x)=0 et Q(x) est un polynôme quelconque.

* P(x) est un polynôme constant quelconque et Q(x)=1

* P(x)=ax² et Q(x)=x² (avec a un réel différent de 0)

CQFD

Propriété utilisée:


Soit ABC un triangle, et soient I et J les mileux de [AB] et [AC].

On a .

Démonstration:

d'après Chasles: .

Passons à notre exo:


D'après chasles et la propriété déjà démontrée on a:



X le milieu de [MP]

Y le milieu de [QN]

On conclut que: .

CQFD.

On va prouver que MX=MY=MZ
Soit I le milieu de [BC]
Soit E un points tel que M est le milieu de [YE]
Soit F un points tel que M est le milieu de [ZF]
Et enfin considérons G le point d'intersection de (FY) et le cercle (C) conscrit du triangle ABC

Puisque Y£(C) Donc BYC est un triangle rectangle en Y
Donc (YC) et (BY) sont perpendiculaires
Ainsi (YC) et (PX) sont paralléles
Puisque M est le milieu des segment AC et YE
donc E£(PX) donc (EX) et (XY) sont perpendiculaires
Ainsi le triangle EXY est rectangle en X
et puisque M est le milieu de [YE] donc MX=MY=ME
D'ou MX=MY



On a Z£(C) Donc angle{BZC}=angle{BZI}+ angle{IZC}=90°
Puisque G et B etC et Z Appartiennent à (C)
Donc angle{GBC}=angle{GZC}
I est le milieu du segment BC donc I est le centre du cercle (C)
Ainsi BI=IZ D'ou angle{IBZ}=angle{IZB}
On conclut que angle{ZBG}= angle{IBZ} +angle{GBC}=angle{IZB}+ angle{GZC}=90°
DONC [ZG] est un diamètre dans le cercle (C)
D'ou YZG est un triangle rectangle en Y
Ainsi
FYZ est un triangle rectangle en Y
et puisque M est le milieu de [ZF]
Donc MZ=MY=MF
Ainsi MZ=MY

Enfin on concult queMZ=MY=MX

Partageons l'ensemble E en deux sous-ensemble I et J tel qu'à tout élément j de J, on peut associer un élément i de I / i+j=2010.

Soit k un entier naturel / 0<=k<=20
Posons I={5+50k} et J={2005-50k}
Ainsi I={5;55;...;955;1005} et J={1005;1055;...;2005}
On a bien I U J= E et pour tout élément j=2005-50k de J, il existe un élément i=5+50k de I tel que i+j=2010 (Puisque i+j=5+50k+2005-50k=2010)

De plus Card(I)=Card(J)=21
La conclusion s'en suit en appliquant le principe des tiroirs (en choisissant comme tiroirs I et J)!
Et je n'ai pas de problèmes à proposer!