Préparation dernière phase 2012.

Il serait préférable de proposer un autre problème nmo !

salut , si c"est N^4 , je n'ai pas étudier d'arithmétique mais je pense avoir une idéé : on posant x=mi(x,y,z,t) on a bien x=0 , d'ou 3=z^3+y^3+t^3 , si l'un des 3 nombres est supérieure ou égale a 2 le membre de droite est clairement suppérieur a 3 impossible , ainsi tout les nombres sont compris entre [0,1] de la c facile

ali-mes a écrit:

Il serait préférable de proposer un autre problème nmo !

Car il devient très facile, n'est ce pas?
Bon, voici un problème de l'olympiade des pays de Golf (proposé autrement):
Problème 23:
Soient a, b et c des réels strictement positifs.
Déterminez le minimum de .
Bonne chance.

Solution au problème 23:
Par l'IAG, on a:

avec égalité si: 6a^3=9b^3=32c^3=1/(12abc), on fait les calculs, et on trouve le triplet pour lequel on a l'égalité (D'après wolframalpha , c'est ), donc le minimum cherché est 6.

Problème 24:
Soient a, b et c des réels strictement positifs, tel que: a+b+c=1.
Montrer que:

ali-mes a écrit:

Solution au problème 23:
Problème 24:
Soient a, b et c des réels strictement positifs, tel que: a+b+c=1.
Montrer que:

Solution problème 24:

Spoiler:

Problème 25:
Soient x, y et z des réels strictement positifs, tel que: xyz=1.
Montrer que:

Ma solution pour le probléme 25: Par AM-GM pour xyz=1 on a ,

Problème 26 : soit ABCD un quadrilatère convexe tel que : AC ^BD={O} , M le milieu de BC et MO^AD=E . Montrer que : [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{AE}{ED}=\frac{[ABO]}{[CDO]} [/img] . (ou [XYZ] est la surface du triangle XYZ , et ^ est l'intersection ) .

@Oty: je ne vois pas comment tu as appliqué l'AM-GM seulement ?

Solution au problème 26:

Sauf erreur...

Problème 27:
Considérons un triangle ABC et (C) son cercle circonscrit. Soit M un point qui se trouve à l'intérieur du triangle et qui appartient à la bissectrice de angle{A}. AM, BM et CM recoupent (C) dans A_1, B_1 et C_1 respectivement. Soient: P=(A_1C_1)inter(AB) et Q=(A_1B_1)inter(AC). Montrer que: (PQ)//(BC)

Solution au problème 27
Je suppose déjà que M est un point qui se trouve à l'intérieur du triangle et qui appartient à la bissectrice de angle{BAC}et non pas {ABC} car d’après geogebra (PQ) n'est pas parallèle a (BC).
Il suffit de remarquer que les triangle APA_1 et ACM sont semblable car

et donc on a

De même,on remarque que AQA_1 et ABM sont semblable et donc

de (*) et (**) on conclue que

Et avec Thales on a (PQ)//(BC).

Problème 28
Considérons un triangle ABC,son cercle circonscrit (C) de centre O,et I le centre de son cercle inscrit.Un autre cercle est tangent aux côtés AC,BC en D,E respectivement,et il est aussi tangente intérieurement à (C)
Montrer que I est le milieu de [DE]

Peux-tu accompagner l'exercice avec un schéma? Je n'arrive pas à dessiner D et E.

Voici un Schéma:

Je propose une solution au problème 28
Notons (T) le cercle tangent aux côtés AC,BC,est aussi tangente intérieurement à (C).
Soinent O' et k le centre et le rayon de (T).Notons aussi r et R respectivement le rayon du cercles inscrit et circonscrit au triangle ABC
On a avec la loi des sinus :

et comme

alors C,I,O' sont aligné et aussi CI<CO',ainsi

Il est bien connu que:

maintenant en utilisant Al-Cashi dans le triangle COO':

et il est facile à prouver que :

ainsi on obtient:

d'ou
et par la suite on a :

du coup,
ceci montre que I appartient à (DE).
et donc I est l’intersection de (CO') et (DE)
hors CE=CD et O'E=O'D donc I est le milieu de [DE]
PS

Spoiler:

il existe également une solution utilisons la théorème de Pascal !! ....

Oui je pense que pascal peut résoudre!!

puisque j'ai encore la main,Je propose
le problème 29
Trouver toutes les fonction f IR--->IR telles que pour tous x,y de IR²:

boubou math a écrit:

puisque j'ai encore la main,Je propose
le problème 29
Trouver toutes les fonctions f : R --> R telles que pour tout x; y de R,

C'est le même problème proposé par Oty. Problème 10.

konica a écrit:

boubou math a écrit:

puisque j'ai encore la main,Je propose
le problème 29
Trouver toutes les fonctions f : R --> R telles que pour tout x; y de R,

C'est le même problème proposé par Oty. Problème 10.

Edit...

Ma solution du problème 29 : soit P(x,y) l'assertion : f(xf(x)+f(y))=f(x)²+y . P(0,x) donne f(f(x))=f(0)²+x , cette relation montre que f est bijective . Mnt soit un c tel que f(c)=0 . P(x,c) donne f(xf(x))=f(x)²+c (*) . P(0,c) donne f(0)=f(0)²+c (1). et P(c,0) donne f(f(0))=0=f(c) d'ou c=f(0) en remplace dans (1) on trouve f(0)=0 , aussi notos que P(0,y) donne f(f(y))=y quelque soit y . P(f(x) , y) donne f(xf(x)+f(y))=x²+y et finalement f(x)²=x² (en remplacent dans l'équation initial ) d'ou f(x)=x f(x)=-x quelque soit x dans R . supposant qu'il existe x et y dans R tel que f(x)=x et f(y)=-y , P(y,x) donne f(x²-y)=x²+y , si x²-y=x²+y alors x=0 , si y-x²=-x²-y alors y=0 . d'ou f(x)=x quelque soit x ou f(x)=-x quelque soit x qui vérifie l'EF .

Problème 30 : ABC un triangle A' et B' les milieux de [BC] et [AC] , M le point d'intersection de (AA') et (BB') ; A'MB'C est circonscriptible , montrez que ABC est isocèle .

Oty a écrit:

Ma solution du problème 29 : soit P(x,y) l'assertion : f(xf(x)+f(y))=f(x)²+y . P(0,x) donne f(f(x))=f(0)²+x , cette relation montre que f est bijective . Mnt soit un c tel que f(c)=0 . P(x,c) donne f(xf(x))=f(x)²+c (*) . P(0,c) donne f(0)=f(0)²+c (1). et P(c,0) donne f(f(0))=0=f(c) d'ou c=f(0) en remplace dans (1) on trouve f(0)=0 , aussi notos que P(0,y) donne f(f(y))=y quelque soit y . P(f(x) , y) donne f(xf(x)+f(y))=x²+y et finalement f(x)²=x² (en remplacent dans l'équation initial ) d'ou f(x)=x f(x)=-x quelque soit x dans R . supposant qu'il existe x et y dans R tel que f(x)=x et f(y)=-y , P(y,x) donne f(x²-y)=x²+y , si x²-y=x²+y alors x=0 , si y-x²=-x²-y alors y=0 . d'ou f(x)=x quelque soit x ou f(x)=-x quelque soit x qui vérifie l'EF .

Pourquoi?

soit a et b telque f(a)=f(b) implique f(f(a))=f(f(b)) d'ou a=b (*) injective . on quelque soit x, f(f(x))=f(0)²+x en remplace x par x-f(0)² on obtient f(bidule)=x d'ou f est surjective ....

J'ai dessiné un schéma , et étrangement ABC n'est pas isocèle,est ce que tu es sûr de cet exercice ?

boubou math a écrit:

J'ai dessiné un schéma , et étrangement ABC n'est pas isocèle,est ce que tu es sûr de cet exercice ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pitot tu as mal compris je pense , amicalement ( cette exo est déjà dans la section terminal.s.m pas besoin de le remettre ) .
Tient trouvez tout les n entiers positifs tels qu'il existe une infinité de nombres premiers tels que le nombre de nombres inférieurs ou égaux à p^(n) fois la somme des diviseurs de p^(n) sois divisible par 24 .

darkpseudo a écrit:

boubou math a écrit:

J'ai dessiné un schéma , et étrangement ABC n'est pas isocèle,est ce que tu es sûr de cet exercice ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pitot tu as mal compris je pense , amicalement ( cette exo est déjà dans la section terminal.s.m pas besoin de le remettre ) .
Tient trouvez tout les n entiers positifs tels qu'il existe une infinité de nombres premiers tels que le nombre de nombres inférieurs ou égaux à p^(n) fois la somme des diviseurs de p^(n) sois divisible par 24 .

Pourrai-tu me dire ce que je n'ai pas compris ?:p